Cases of nonlinear pulse interaction

The current doctoral thesis consists of four problems in the field of Nonlinear Optics, which we have studied in the Plasma Electron Beam and Nonlinear Optics Laboratory of NTUA. All of the problems have to do with interactions of optical pulses in the presence of nonlinearity. This means that the response of the medium depends on the pulses themselves. Those pulses (or beams) that we deal with, can be of solitonic nature or not, but in any case the indicated model, which describes their evolution, is the Nonlinear Schrödinger Equation (NLS). Our method of study changes according to the problem. In some cases we follow mainly an analytical approach (or rather semi-analytical) while in other, our study is mainly a numerical one.Pulses interactions can be coherent or incoherent, depending on their dependence on pulses’ relative phase. Those pulses we deal with are often called “nonlinear”, since they trigger nonlinear phenomena. Depending on the nature of the interaction (coherent or incoherent), there are different phenomena that are dominant each time. Thus the equations that model them have to change accordingly. Another variation, relative to the physics and the methodology of the problem is imposed by its dimensions. For example, the temporal pulses propagating along a standard monomode fiber are one dimensional entities, because they are trapped along the spatial dimensions and it is only their temporal width, at a certain point along the propagation line, that is subjected to nonlinear effects and dynamical evolution. Such a pulse, with the proper power, can relatively easy create a soliton and propagate undisturbed. A pulse propagating along a planar waveguide is a problem of two dimensions, while another propagating in a bulk medium is a problem of three dimensions.The introduction of the work, found in Chapter 1, is relatively extended, in order for all the above issues to be included. We give some historical elements, concerning the progress of the research on nonlinear waves in general, and also in Optics more specifically. Some brief descriptions about solitons and the nature of pulse and beam interactions are also given. Furthermore, we present the main phenomena that appear in he problems that we study, and the more usual analytical and numerical methods of study followed in relative problems in Optics. Some of these methods are employed in this work. There is also a brief reference on the mathematical background of our study, the NLS and some conserved quantities that are needed in our analysis.In Chapters 2 and 3 we study two one dimensional problems. In both cases we deal with the incoherent interaction of solitonic pulses and the model used is a pair of NLS coupled mainly by the term of cross phase modulation. Also, in both problems we use perturbative methods. More specifically, in Chapter 2 we study the influence of periodically modulated dispersion in pulse interactions. Firstly we deal with the effect that this periodic modulation has on the coupling of two orthogonally polarized modes of a pulse propagating inside a fiber with strong birefringence. The modulation is actually no more than a perturbation, having small amplitude. Nevertheless, it is the frequency of modulation that is most important and we study a wide spectrum of values. We use the Variational Method to transform the problem of two coupled PDEs to one of a system of ODEs. The variables of the system are chosen to be the modes’ characteristics. We perform dynamical analysis of the system in order to retrieve the eigenfrequencies of it, and we use those as guidance through our study. In order to capture a general picture of the system, for a wide range of initial values and of the frequency and amplitude of the modulation, we employ a Poincaré surface of section analysis. Through it we can unveil characteristics of the system, like resonances, chaotic areas, initial values that lead to escapes and generally we can check its stability. Since we end up with systems of three degrees of freedom, the surfaces of section are four-dimensional. Thankfully, there is some not that extended bibliography concerning exactly those subjects, which mainly comes from the field of Astrophysics. Hence by creating three dimensional projections of the surfaces of section we can still comment on system stability. Also, we can create even the four dimensional surfaces themselves by employing color as the fourth dimension. We also solve the coupled PDEs numerically and compare the results with those of the ODEs. Doing systematic comparisons we can comment not only on the stability of the system, meaning the resilience of mode coupling, but also we can test the validity of the Variational Method, which appears to fail for certain values of modulation’s frequency.Another problem that can be modeled with the same equations is the interaction of solitonic pulses of different frequency in the presence of Dispersion Management (DM). Such interactions can happen in a WDM communication system. In this case the frequency of dispersion modulation is quite larger than the characteristic frequencies of the pulses. By employing a simple algebraic procedure and dynamical analysis of the ODEs system, we are able to choose the values of energy enhancement and pre-chirp of the pulse and create a DM-soliton. It is also shown that the sifting of frequency, experienced by the DM-solitons after their collisions, can be nullified through the proper selection of the period and local values of the dispersion.At Chapetr 3 we study yet another problem concerning the interaction of solitonic pulses with different frequencies. However, this time we deal with ultrashort pulses, being of width lesser than 1ps. For this reason, higher order effects, like Raman scattering and dispersion of the third order cannot be ignored. Most importantly, the Raman effect causes downshift of pulse frequency, as well as energy transfer between the pulses, during their collision. The model used is a pair of NLS, with added terms of higher order. We approach the problem through the Direct Perturbation Method, which also gives us a system of ODEs to solve. Our main concern is the possibility of balancing the temporal displacement of pulses, caused by the frequency shift, by forcing collisions with pulses of lower frequency (another channel), which cause opposite temporal displacement. It is shown that this can be possible, but the energy transfer that takes place at every collision can be destructive for the solitonic pulse, in the long run.The rest of the thesis concerns problems of coherent interaction of two-dimensional (spatiotemporal) wavepackets. Our study is mainly numerical and the model that we use is the two-dimensional NLS. Since the pulses are now considered to have the same frequency, they can be presented as a superposition of one over the other and their evolution can be modeled by one equation.The first problem concerns the possibility of spontaneous nonlinear X-wave generation. The specific wavepackets are the analogue of the linear X-waves and are intensively studied for a few years now because they appear to travel through slab waveguides or bulk media without distortion. A necessity for their existence is the medium to be of normal dispersion and the reason behind their specific shape is the spatiotemporal modulation instability (MI) which amplifies specific sidebands. Of great interest is the possibility of creating such wavepackets from simple Gaussian spatiotemporal pulses. We show that this could be made possible through the interaction of such a pulse with a continuous plane wave (CW). The presence of the CW enhances the MI and can reshape the pulse to create an “X-like” wavepacket which does not have the resilience of the linear counterpart, but can propagate for longer distances than the Gaussian pulse, before succumbing to dispersion. The amplitude and most of all the initial phase of the CW are the critical controlling factors. By employing a mostly qualitative analysis we can choose the initial characteristic of the Gaussian pulse and the CW, in order to avoid the temporal splitting or the dispersion of the former and reshape it to an X-like wavepacket.The second problem, which is also the last problem of this thesis, presented at the 5th Chapter, concerns coherent interactions of spatiotemporal Gaussian pulses, in the presence of CW. The medium is again considered to be of normal dispersion. We examine the possibility of them fusing together and even amalgamate. The amalgamation is the state where the pulses merge and create one wavepacket which evolves dynamically without dispersing outright, as the individual pulses would. Hence in the normal dispersion regime, if that wavepacket has the proper “mass” (energy) will experience temporal splitting. That could create tow wavepakets with temporal displacement. In that case we have a situation of spatiotemporal reallocation, where two pulses spatially displaced, interact and create two new wavepackets, which are temporally and spectrally displaced.Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελείται από τη παρουσίαση της εργασίας μας πάνω σε τέσσερα προβλήματα Μη Γραμμικής Οπτικής, με τα οποία ασχοληθήκαμε στο εργαστήριο Πλάσματος, Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής. Ο κοινός παρονομαστής αυτών των προβλημάτων είναι οι αλληλεπιδράσεις φωτεινών παλμών παρουσία μη γραμμικότητας, όταν δηλαδή η απόκριση του μέσου εξαρτάται από τον ίδιο τον παλμό. Οι εν λόγω παλμοί (ή ακτίνες) με τους οποίους ασχολούμαστε μπορεί να είναι σολιτονικοί ή και όχι, αλλά σε κάθε περίπτωση το ενδεδειγμένο μοντέλο περιγραφής τους είναι η μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger (NLS). Η μελέτη που ακολουθούμε είναι, ανάλογα με το πρόβλημα, πότε αναλυτική (ή για να το πούμε πιο σωστά, ημί αναλυτική) και πότε αριθμητική.Οι αλληλεπιδράσεις των παλμών, που λόγω των φαινομένων που εμπλέκονται συχνά ονομάζονται «μη γραμμικοί», μπορούν να είναι σύμφωνες ή ασύμφωνες, να εξαρτώνται δηλαδή από τη σχετική τους φάση ή και όχι. Ανάλογα με το είδος της αλληλεπίδρασης αλλάζει η απόκριση του μέσου, οπότε τα φαινόμενα που κυριαρχούν, και βέβαια πρέπει να μοντελοποιηθούν, είναι κάθε φορά διαφορετικά. Μία άλλη διαφοροποίηση, σχετική τόσο με τη Φυσική όσο και με τη μεθοδολογία, είναι η διαστάσεις του προβλήματος. Για παράδειγμα, οι παλμοί που οδεύουν σε μονότροπη οπτική ίνα είναι μονοδιάστατες οντότητες, διότι, καθώς είναι εγκλωβισμένοι στις χωρικές διατάσεις, το μόνο που υπόκειται σε δυναμική εξέλιξη και επίδραση μη γραμμικότητας σε τυχαίο σημείο της γραμμής διάδοσης είναι το χρονικό τους εύρος. Ένας τέτοιος παλμός, με κατάλληλη ισχύ, μπορεί σχετικά εύκολα να δημιουργήσει ένα σολιτόνιο που θα οδεύει αδιατάρακτο. Ένας παλμός με συγκεκριμένο χρονικό εύρος που στέλνεται σε επίπεδο κυματοδηγό αποτελεί πρόβλημα δύο διατάσεων, ενώ, όταν οδεύει σε ελεύθερο μέσο, τριών.Για να μπορέσουμε να συμπεριλάβουμε αυτά τα θέματα γράψαμε μια σχετικά εκτενή εισαγωγή, η οποία βρίσκεται στο 1ο Κεφάλαιο. Εκεί, εκτός από μερικά ιστορικά στοιχεία για την έρευνα πάνω στα μη γραμμικά κύματα γενικά, αλλά και για τις αναπαραστάσεις τους στην Οπτική, δίνονται σύντομες εξηγήσεις για τους όρους σολιτόνιο και τις σύμφωνες ή ασύμφωνες αλληλεπιδράσεις των παλμών. Ακόμα, αναφέρονται τα κύρια εμπλεκόμενα φαινόμενα και σκιαγραφούνται κάποιες συνήθεις μέθοδοι προσέγγισης του προβλήματος της εξέλιξης των παλμών, μερικές από τις οποίες χρησιμοποιήσαμε στη μελέτη μας. Επίσης γίνεται σύντομη αναφορά στο μαθηματικό υπόβαθρο των μοντέλων, την NLS και κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες που χρειάζονται στην ανάλυση.Στα Κεφάλαια 2 και 3, καταγράφεται η μελέτη δύο μονοδιάστατων προβλημάτων. Και στις δύο περιπτώσεις, μελετάται η ασύμφωνη αλληλεπίδραση σολιτονικών παλμών και το μοντέλο που χρησιμοποιείται είναι δύο εξισώσεις NLS συζευγμένες, κατά κύριο λόγο μέσω του όρου της ετεροδιαμόρφωσης φάσης. Επίσης, και στα δύο προβλήματα χρησιμοποιούμε διαταρακτικές μεθόδους προσέγγισης. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 2 ασχολούμαστε με την επίδραση κάποιας περιοδικής μεταβολής της διασποράς στην αλληλεπίδραση των παλμών. Κατ’ αρχάς μελετάμε την επίδραση της περιοδικής μεταβολής μικρού πλάτους, αλλά για διάφορες συχνότητες, στη σύζευξη των κάθετα πολωμένων ρυθμών σολιτονικού παλμού που διαδίδεται σε ίνα με ισχυρή διπλοθλαστικότητα. Χρησιμοποιούμε τη Μεταβολική Μέθοδο για να εκπέσουμε από το πρόβλημα δύο συζευγμένων PDEs σε σύστημα ODEs με μεταβλητές τα χαρακτηριστικά των ρυθμών του παλμού. Μέσω δυναμικής ανάλυσης του συστήματος βρίσκουμε τις χαρακτηριστικές του συχνότητες, οι οποίες μας οδηγούν στη διερεύνησή μας. Για να έχουμε μια γενική εικόνα του συστήματος για μεγάλο εύρος αρχικών τιμών, αλλά και της συχνότητας και πλάτους της διαταραχής χρησιμοποιούμε τομές Poincaré, μέσω των οποίων μπορούμε να έχουμε εικόνα για πιθανούς συντονισμούς, αλλά κυρίως για την ευστάθειά του. Καθώς τα συστήματα που μελετάμε είναι τριών βαθμών ελευθερίας, οι τομές καταλήγουν να είναι τεσσάρων διαστάσεων. Αντλώντας εμπειρία από τη βιβλιογραφία της σχετικής μεθοδολογίας, μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια του συστήματος παρατηρώντας είτε τρισδιάστατες προβολές των τομών, είτε παράγοντας τις ίδιες τις τομές, όπου χρησιμοποιούμε χρωματισμό για την αναπαράσταση της τέταρτης διάστασης. Ακόμα επιλύουμε το ζεύγος των PDEs αριθμητικά και, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με αυτά της δυναμικής ανάλυσης, μπορούμε να βρούμε για ποιες τιμές της συχνότητας της διαταραχής η Μεταβολική Μέθοδος αποτυγχάνει να δώσει σωστή ποσοτική ή ακόμα και ποιοτική περιγραφή.Ένα ακόμα πρόβλημα που μοντελοποιείται από τις ίδιες εξισώσεις είναι η αλληλεπίδραση σολιτονικών παλμών διαφορετικής συχνότητας παρουσία διαχείρισης διασποράς (DM). Σε αυτή τη περίπτωση η συχνότητα της διαχείρισης είναι αρκετά μεγαλύτερη από τις χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος, κάτι που επιτρέπει πολύ μεγάλες μεταβολές του πλάτους αυτής, χωρίς να καταστρέφει τους παλμούς. Ακολουθώντας μια απλή αλγεβρική διαδικασία και δυναμική ανάλυση, υπολογίζουμε την απαραίτητη ενέργεια και τερέτισμα για τους παλμούς και δείχνουμε ότι, για συγκεκριμένες τιμές της συχνότητας και του πλάτους της διαχείρισης, η φασματική μετατόπιση κατά την αλληλεπίδραση (σύγκρουση) των παλμών μπορεί να μηδενιστεί.Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε ένα ακόμα πρόβλημα αλληλεπίδρασης σολιτονικών παλμών με διαφορετική συχνότητα. Η διαφορά με τα προηγούμενα είναι ότι οι παλμοί θεωρούνται στενοί, με εύρος κάτω του 1ps. Ως εκ τούτου, φαινόμενα ανώτερης τάξης, όπως το Raman και η διασπορά 3ης τάξης, δε μπορούν να αγνοηθούν. Ιδιαίτερα το φαινόμενο Raman προκαλεί ολίσθηση στη συχνότητας των παλμών, καθώς και μεταφορά ενέργειας μεταξύ τους. Το βασικό μοντέλο είναι δύο συζευγμένες NLS, μαζί με επιπλέον όρους. Χρησιμοποιούμε την Άμεση Μέθοδο Διαταραχών και καταλήγουμε πάλι σε σύστημα συνήθων διαφορικών με μεταβλητές τα χαρακτηριστικά των παλμών. Το σύστημα μας δίνει μια καλή αίσθηση για την επίδραση των φαινομένων πάνω στους παλμούς, σαφέστερη από ότι οι PDEs. Εξετάζουμε τη δυνατότητα ισοζύγισης της χρονικής μετατόπισης που προκαλεί η ολίσθηση συχνότητας, τουλάχιστον για τον ένα παλμό (κανάλι), μέσω της αλληλεπίδρασης του με παλμούς μικρότερης συχνότητας. Φαίνεται πως κάτι τέτοιο είναι δυνατό, αλλά η ενεργειακή απώλεια που υφίσταται ο παλμός μπορεί να γίνει υπολογίσιμη.Στο υπόλοιπο της εργασίας ασχολούμαστε με δύο προβλήματα σύμφωνης αλληλεπίδρασης, που αφορούν δισδιάστατα κυματοπακέτα, δηλαδή χωροχρονικούς παλμούς. Η μελέτη που εκτελούμε είναι αριθμητική και το μοντέλο που ακολουθείται είναι η δισδιάστατη NLS. Καθώς οι παλμοί έχουν ίδια συχνότητα, μπορούν να ειδωθούν σαν υπέρθεση του ενός στον άλλο και να μοντελοποιηθούν από μία μόνο εξίσωση.Το πρώτο πρόβλημα αφορά τη δυνατότητα δημιουργίας μη γραμμικού κύματος «Χ». Τα συγκεκριμένα κυματοπακέτα, ανάλογα των γραμμικών κυμάτων «Χ», μελετώνται εκτεταμένα τα τελευταία χρόνια, λόγω της ιδιότητας τους να διαδίδονται αναλλοίωτα σε δύο ή και τρεις διαστάσεις, δηλαδή σε επίπεδους κυματοδηγούς και ελεύθερα μέσα, πάντα με κανονική διασπορά. Η αιτία που ευνοεί την ύπαρξη τους είναι η μορφή της χωροχρονικής διαμορφωτικής αστάθειας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η δυνατότητα δημιουργίας τους από μετασχηματισμό συνηθισμένων κυματοπακέτων, όπως τέτοια γκαουσιανού προφίλ. Μέσω της αλληλεπίδρασης τέτοιων παλμών με επίπεδο συνεχές κύμα (CW) δείχνουμε ότι μπορεί να δημιουργηθεί κυματοπακέτο τύπου «Χ», το οποίο διαδίδεται διατηρώντας το πλάτος και το σχήμα του για αρκετά μήκη περίθλασης, ενώ οι συνήθεις γκαουσιανοί παλμοί καταστρέφονται γρήγορα λόγω διασποράς. Ρυθμιστικό ρόλο στη δημιουργία τους παίζει το πλάτος, αλλά κυρίως η σχετική φάση του CW. Με τη βοήθεια μιας ποιοτικής περισσότερο μελέτης, μπορούμε να επιλέξουμε τα αρχικά χαρακτηριστικά των παλμών, ώστε να αποφευχθεί η διασπορά, ή ο χρονικός διαχωρισμός τους, και να διατηρηθούν αρκετά, ώστε να μετασχηματιστούν σε κυματοπακέτο «ΤύπουΧ».Το δεύτερο πρόβλημα, το οποίο είναι και το τελευταίο της διατριβής, παρουσιάζεται στο 5ο Κεφάλαιο και αφορά στη σύμφωνη αλληλεπίδραση χωροχρονικών γκαουσιανών παλμών παρουσία CW. Το μέσο διάδοσης θεωρείται ξανά κανονικής διασποράς. Ανάλογα με την αρχική τους μετατόπιση, το πλάτος και τη φάση τους, όπως και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του CW εξετάζουμε τη δυνατότητα συσσωμάτωσής τους και δημιουργίας «αμαλγάματος». Ως αμάλγαμα νοείται το συσσωμάτωμα που συμπεριφέρεται σαν ένα κυματοπακέτο επαρκούς ενέργειας που δύναται να εξελιχθεί δυναμικά και να μη διασπαρθεί. Στη περίπτωση της κανονικής διασποράς η δυναμικής εξέλιξη του κυματοπακέτου καταλήγει σε χρονικό διαχωρισμό του σε δύο νέα κυματοπακέτα χρονικά μετατοπισμένα. Έχουμε λοιπόν μια «χωροχρονική μετάθεση», όπου δύο κυματοπακέτα χωρικά μετατοπισμένα, αφού αλληλεπιδράσουν, καταλήγουν σε δύο άλλα κυματοπακέτα, χρονικά και φασματικά μετατοπισμένα