Study of stochastic systems using non linear models: applications to neurophysiological problems

In the present doctoral thesis was initially examined the cross-correlation between the events of two or three point processes. For this aim, the estimators of the product and cumulant densities of the increments of stationary point processes were defined and studied. These estimates are based on statistical functions from the time and the frequency domain. Then, we defined parameters in the time domain, suitable for the examination of the cross-correlation between two (product ratio) or three stationary point processes (conditional intensities). When the hypothesis of independence of point processes is rejected, these parameters allow evaluating the strength of association for various values of lagtime between the events. The statistical inference for the product ratio is based on spectral analysis and spectral densities of higher order (up to forth), which provide improved results using convergence factors, since the statistical inference for the conditional intensities is based on techniques from the time domain. In each case it is achieved the construction of confidence intervals with constant limits for each value of lagtime, applying transformations of our estimates, as the transformation of the square root. The results from the two approaches are equivalent. Nevertheless spectral analysis techniques allow making better smoothing in our estimates. Moreover, linear but also not linear point process stochastic models with one or two inputs and one output are studied. The above theoretical findings are applied for the study of the muscle spindle, a complex element of the neuromuscular system of mammals. Specifically, the excitatory effect of the gamma motoneuron, the inhibitory effect of the alpha motoneuron and their simultaneous activation on the mechanical properties of the muscle spindle is studied. The statistical elaboration and the graphical representation of the data sets with R, the well-known the statistical package R and the Fortran programming language.Στην παρούσα διδακτορική διατριβή εξετάστηκε αρχικά η συσχέτιση μεταξύ των γεγονότων δύο ή τριών σημειακών ανελίξεων. Για το σκοπό αυτό, ορίστηκαν και μελετήθηκαν οι εκτιμητές των συναρτήσεων γινομένου και συσσώρευσης των προσαυξήσεων στάσιμων σημειακών ανελίξεων. Οι εκτιμητές αυτοί βασίζονται σε στατιστικές συναρτήσεις από το πεδίο του χρόνου και της συχνότητας. Κατόπιν, ορίσαμε παραμέτρους στο πεδίο του χρόνου, που είναι κατάλληλες για την εξέταση της συσχέτισης μεταξύ δύο (λόγος γινομένου) ή τριών στάσιμων σημειακών ανελίξεων (δεσμευμένες πυκνότητες έντασης). Όταν η υπόθεση της ανεξαρτησίας των σημειακών ανελίξεων απορρίπτεται τότε αυτές οι παράμετροι μας επιτρέπουν να αξιολογήσουμε την ένταση της εξάρτησης για τις διάφορες τιμές της χρονοκαθυστέρησης μεταξύ των γεγονότων. Η στατιστική συμπερασματολογία για το λόγο γινομένου στηρίζεται στις φασματικές πυκνότητες ανώτερης τάξης (μέχρι και τέταρτης), η οποία μας παρέχει βελτιωμένα αποτελέσματα με τη χρήση παραγόντων σύγκλισης, ενώ η στατιστική συμπερασματολογία της δεσμευμένης πυκνότητας έντασης στηρίζεται σε τεχνικές από το πεδίο του χρόνου. Σε κάθε περίπτωση επιτυγχάνεται η κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης με σταθερά όρια για κάθε τιμή της χρονοκαθυστέρησης, με τη βοήθεια μετασχηματισμών των εκτιμητών μας, όπως ο μετασχηματισμός της τετραγωνικής ρίζας. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν και με τις δύο προσεγγίσεις είναι ισοδύναμα. Παρόλα αυτά οι τεχνικές φασματικής ανάλυσης μας επιτρέπουν να κάνουμε καλύτερη εξομάλυνση στους εκτιμητές μας. Επιπλέον, μελετώνται γραμμικά αλλά και μη γραμμικά στοχαστικά μοντέλα σημειακών ανελίξεων με μία ή δύο εισόδους και μία έξοδο. Τα παραπάνω θεωρητικά ευρήματα εφαρμόζονται για τη μελέτη της μυϊκής ατράκτου, ενός σύνθετου στοιχείου του νευρομυϊκού συστήματος των θηλαστικών. Συγκεκριμένα, αναλύεται η διεγερτική επίδραση του γάμμα κινητονεύρου, η ανασταλτική του άλφα κινητονεύρου καθώς και η ταυτόχρονη δραστηριότητα τους, στις μηχανικές ιδιότητες της μυϊκής ατράκτου. Η στατιστική επεξεργασία των δεδομένων και η γραφική τους αναπαράσταση γίνεται με το R, το γνωστό στατιστικό πακέτο και τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran