Symplectic integrators for the numerical solution of problems with oscillatory behavior of the solution

This thesis deals with the numerical solution of the Hamiltonian problems by using symplectic integrators. More specifically, explicit symplectic methods are examined and constructed, in case the Hamiltonian is separable. Initially, two new symplectic methods, third and fourth order, are constructed and implemented for the solution of the time independent Schrodinger equation. The Schrodinger equation is first transformed into a Hamiltonian canonical system. Moreover, almost all the existing symplectic methods, up to the eighth order, are also implemented, in order to compare, in general terms, their effectiveness. Furthermore, a method, which is based on the third order symplectic integrator, is used for the numerical solution of the two dimensional problem of the Schrodinger’s equation through the partial discretization. In addition, exponentially and trigonometrically fitted symplectic methods are implemented for the numerical solution of the general Hamiltonian problem, as well as for the computation of eigenvalues of the Schrodinger equation.Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η αριθμητική επίλυση των Χαμιλτονιανών προβλημάτων, με την εφαρμογή συμπλεκτικών ολοκληρωτών. Ειδικότερα μελετώνται και κατασκευάζονται έμμεσες συμπλεκτικές μέθοδοι για την περίπτωση που η Χαμιλτονιανή είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Αρχικά δημιουργούνται δύο νέες συμπλεκτικές μέθοδοι, τρίτης και τέταρτης τάξης οι οποίες και εφαρμόζονται στην επίλυση της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης του Schrodinger, αφού πρώτα αυτή μετατραπεί σε ένα κανονικό Χαμιλτονιανό σύστημα. Εφαρμόζονται επίσης και όλες σχεδόν οι υπάρχουσες συμπλεκτικές μέθοδοι, μέχρι και όγδοης τάξης, για μια γενικότερη σύγκριση της αποτελεσματικότητας τους. Κατόπιν κατασκευάζεται μέθοδος που στηρίζεται σε συμπλεκτικό ολοκληρωτή τρίτης τάξης, για την αριθμητική επίλυση της διδιάστατης εξίσωσης του Schrodinger με την τεχνική της ημιδιακριτοποίησης. Στην συνέχεια αναπτύσσονται εκθετικά και τριγωνομετρικά προσαρμοσμένες συμπλεκτικές μέθοδοι, για την αριθμητική επίλυση του γενικού Χαμιλτονιανού προβλήματος, καθώς και για την εύρεση ιδιοτιμών στην εξίσωση του Schrodinger