CONTRIBUTION TO THE THEORY OF RULED SURFACES IN THE SIMPLY ISOTROPIC SPACE

THE AIM OF THIS PH.D THESIS IS TO CONTRIBUTE TO THE THEORY OF RULED SURFACES OF THE SIMPLY ISOTROPIC SPACE I3(1). THE WHOLE WORK IS SEPARATED UP INTO 6 CHAPTERS. CHAPTER I IS INTRODUCTORY AND INCLUDES FUNDAMENTAL CONCEPTS, WHICH ARENECESSARY FOR THE FOLLOWING. IN CHAPTERS II AND III WE DEFINE AND STUDY SOMESPECIAL FAMILIES OF CURVES, NAMED CURVES OF CONSTANT SURFACE ANGLE AND CURVES OF CONSTANT SURFACE DISTANCE, ON RULED SURFACES OF THE TYPE IV OR V OF THE SPACE I3(1). THE GOAL OF THIS STUDY IS TO FIND OUT CHARACTERISTIC PROPERTIESOF SOME SPECIAL RULED SURFACES OF THIS SPACE. IN CHAPTER IV WE INTRODUCE THE CONCEPTS, OF Α-, Β- AND Γ-TRANSVERSE SURFACES OF A RULED SURFACE OF THE TYPE IV OR V OF I3(1), WHILE IN CHAPTER V WE GIVE CHARACTERIZATIONS OF CERTAIN INVARIANTS OF A RULED SURFACE OF THE TYPE IV OR V VIA PROPERTIES OF EXTREME. FINALLY, IN CHAPTER VI WE EXAMINE THE EXISTENCE OF ISOMETRIC, CONFORMAL AND EQUIAREAL GENERATOR-PRESERVING MAPPINGS BETWEEN RULED SURFACES. FROM THE RESULTS, WHICH ARE OBTAINED, SOME COINCIDE WITH THE CORRESPONDING RESULTS OF THE EUKLIDEAN SPACE, SOME OTHERS ARE CONSIDERABLE DIFFERENT AND OTHERS REFER TO QUESTIONS, WHICH ARE EXAMINED FOR THE FIRST TIME IN THE ISOTROPIC SPACE.ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΑΥΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΣΥΜΒΑΛΛΕΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΑΠΛΩΣ ΙΣΟΤΡΟΠΟΥ ΧΩΡΟΥ Ι3(1). Η ΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΩΡΙΖΕΤΑΙ ΣΕ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΑ. ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΕΙΝΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ, ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΕΠΟΜΕΝΑ. ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΙΙ ΚΑΙ ΙΙΙ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΟΥΜΕΕΙΔΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ, ΤΙΣ ΛΕΓΟΜΕΝΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ, ΠΑΝΩ ΣΕ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ IV Η V ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Ι3(1). ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΑΝΕΥΡΕΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΑΥΤΟΥ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΙΣΑΓΟΥΜΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ Α-, Β- ΚΑΙ Γ-ΕΓΚΑΡΣΙΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΟΥΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ IV Η V ΤΟΥ Ι3(1), ΕΝΩ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V ΔΙΝΟΥΜΕ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΩΝ ΜΙΑΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΟΥΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ IV Η V ΜΕΣΩ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ. ΤΕΛΟΣ, ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ Η ΜΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΩΝ, ΙΣΟΓΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΙΣΕΜΒΑΔΙΚΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ, ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΔΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΙΣ ΓΕΝΕΤΕΙΡΕΣ. ΑΠΟ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ, ΠΟΥ ΠΡΟΕΚΥΨΑΝ, ΑΛΛΑ ΣΥΜΠΙΠΤΟΥΝ ΜΕ ΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ, ΑΛΛΑ ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΝ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ, ΕΝΩ ΑΛΛΑ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ, ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΠΡΩΤΗ ΦΟΡΑ ΣΤΟΝ ΙΣΟΤΡΟΠΟ ΧΩΡΟ