CLASSIFICATION OF FINITE TYPE SUBMANIFOLDS

THE CIRCLES ARE THE ONLY CLOSED UNIT SPEED PLANE CURVES WITH FINITE FOURIER SERIES EXPANSIONS. SIMILAR TO THIS WE STUDY SUBMANIFOLDS OF THE EUCLIDEAN SPACE WHOSE POSITION VECTOR FIELD CAN BE WRITTEN AS A FINITE SUM OF EIGENFUNCTIONS OF THE LAPLACE OPERATOR. WE PROVE SOME RESULTS WHICH CHARACTERIZE THOSE SUBMANIFOLDS. A REPRESENTATIVE RESULT IS THE FOLLOWING: THE RIEMANNIAN PRODUCTS OF TWO PLANE CIRCLES OF DIFFERENT RADII ARE THE ONLY SPHERICAL SURFACES WHOSE POSITION VECTOR FIELD CAN BE WRITTEN AS A SUM OF TWO EIGENFUNCTION OF THE CORRESPONDING LAPLACE OPERATOR.ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΜΟΝΟ ΟΙ ΚΥΚΛΟΙ ΕΧΟΥΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER. ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΙΑ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ ΕΙΝΑΙ: ΠΟΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΕΤΑΙ ΩΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΙΔΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ; ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΝ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ. ΕΝΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΕΞΗΣ: ΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ RIEMANN ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΑΚΤΙΝΩΝ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΜΟΝΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΕΤΑΙ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΙΔΙΟΣΥΑΝΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ