TWO PROJECTS IN MATHEMATICAL ANALYSIS AND GEOMETRY: A) WINDING NUMBER AND WEAK STAR LIMITS OF PROBABILITY MEASURES OF SPECIAL TYPE. B) SURFACES WITH CONGRUENTCURVES.

THIS THESIS CONTAINS TWO INDEPENDENT SUBJECTS ONE IN MATHEMATICAL ANALYSIS AND THE OTHER IN GEOMETRY. CHAPTER A: WINDING NUMBER AND WEAK STAR LIMITS OF PROBABILITY MEASURES OF SPECIAL TYPE. WE STUDY THE WEAK STAR ACCUMULATION POINTS OF SEQUENCES OF PROBABILITY MEASURES OF THE FORM (TYPE). THE MOTIVATION OF OUR STUDY HAS BEEN GIVEN BY A RESULT RELATING INTERVAL AVERAGES WITH THE WINDING NUMBER. CHAPTER B: SURFACES WITH CONGRUENT PERIODIC CURVES IN RK SATISFIES CERTAIN CONDITIONS, THEN THESE CURVES ARE CΟΟ AND HAVE CONSTANT FUNCTIONS OF CURVATURE. THE MOTIVATION OF OUR RESULT HAS BEEN TO PROVE THAT, IF A SURFACE IN R3 HOMEOMORPHIC TO THE SPHERE CONTAIN "MANY" CONGRUENT PERIODIC CURVES, THEN THE SURFACES IS A SPHERE AND THE CURVES ARE CIRCLES.Η ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΟ ΤΕΛΕΙΩΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΑ, ΤΟ ΕΝΑ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΛΛΟ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΑ ΑΣΘΕΝΗ ΑΣΤΡΟ ΟΡΙΑ ΜΙΑΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΜΕΤΡΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (ΤΥΠΟΣ). ΔΙΝΕΤΑΙ ΠΛΗΡΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ Μ OTAN K=1 KAI TA IN ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΑ. ΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΑΥΤΩΝ ΕΙΝΑΙ Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟΝ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΔΕΙΚΤΗ ΣΤΡΟΦΗΣ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΒ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΑΝ ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΤΟΥ RK ΙΚΑΝΟΠΟΙΟΥΝ ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ, ΤΟΤΕ ΟΙ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΧΟΥΝ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ.ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΥΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΑΝ ΜΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΟΥ R3 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΣΦΑΙΡΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ "ΠΟΛΛΕΣ" ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ, ΤΟΤΕ Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΙΝΑΙ ΣΦΑΙΡΑ