OPTIMAL CONTROL OF NONLINEAR PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. THEORY AND NUMERICAL ANALYSIS

EXISTENCE OF OPTIMAL CONTROLS IS OBTAINED AND NECESSARY CONDITIONS OF OPTIMALITY ARE DERIVED OF A NON-CONVEX OPTIMAL CONTROL PROBLEM GOVERNED BY NONLINEAR PARABOLIC PDE'S. A DISCRETIZATION, CONSISTING OF FINITE ELEMENTS AND A PARTIALLY IMPLICIT EULER SCHEME, FOR THE STATE APPROXIMATION, IN CONJUCTION WITH PIECEWISE CONSTANT CONTROLS, GIVES RISE TO DISCRETE NECESSARY CONDITIONS OF OPTIMALITY, (INCLUDING A GENERALIZED DISCRETE PONTRYAGIN MINIMUM PRINCIPLE) WHICH CARRY OVER IN THE LIMIT TO THE CONTINUOUS ANALOGUE. THE OPTIMAL CONTROLS OBTAINED ARE "RELAXED" IN THE SENSE OF J. WARGA.ΕΞΑΣΦΑΛΙΖΕΤΑΙ Η ΥΠΑΡΞΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΚΥΡΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ, ΠΟΥ ΑΠΑΡΤΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΝΑ ΜΕΡΙΚΩΣ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΟ EULER ΣΧΗΜΑ. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ, ΔΙΝΕΙ ΥΠΑΡΞΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ (ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΗΣ ΜΙΑΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΗΣ ΑΡΧΗΣ PONTRYAGIN) ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ. ΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΕΙΝΑΙ "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ" ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ J. WARGA