PROBLEMS ON CONVEX BODIES

WELL KNOWN PROBLEMS ON CONVEX BODIES ARE STUDIED WITH METHODS OF (MAINLY CLASSICAL) MATHEMATICAL ANALYSIS. THE MAIN RESULTS:IT IS PROVED THAT THE TRIANGLEIS THE ONLY PLANE CONVEX BODY, FOR WHICH THE MEAN VALUE OF THE AREA OF THE POLYGON FORMED BY CHOOSING RANDOMLY N POINTS IN K BECAMES MAXIMAL. SEVERAL ESTIMATIONS FOR THE CONSTANT OF ISOTROPY OF A CONVEX BODY ARE PROVED. COUNTEREXAMPLES ARE GIVEN FOR THE PROBLEM OF BUSEMANN-PETTY CONCERNING THE EXTENSION TO THE VOLUMES OF TWO SYMMETRIC CONVEX BODIES OF AN INEQUALITY HOLDING FOR ALL SECTIONS OF THE TWO BODIES WITH HYPERPLANES CONTAINING THEIR COMMON CENTRE OF SYMMETRY. A KNOWN ESTIMATION OF THE BANACH-MAZUR DISTANCE BETWEEN AN ARBITRARY N-DIMENSIONAL NORMED SPACE AND LN00 IS IMPROVED.ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΚΥΡΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ (ΚΥΡΙΩΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΟΝΟ ΚΥΡΤΟ ΣΩΜΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ, ΓΙΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ, ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΥΧΑΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΚΥΡΤΟ ΣΩΜΑ. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΝΤΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΙΣΟΤΡΟΠΙΑΣ ΕΝΟΣ ΚΥΡΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΔΙΔΟΝΤΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ BUSEMANN-PETTY ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΟΥΣ ΟΓΚΟΥΣ ΔΥΟ ΚΥΡΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ, Η ΟΠΟΙΑ ΙΣΧΥΕΙ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΟΓΚΟΥΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΟΜΩΝ ΤΟΥΣ ΜΕ ΥΠΕΡΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΕΡΧΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ. ΒΕΛΤΙΩΝΕΤΑΙΠΑΛΑΙΟΤΕΡΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ BANACH-MAZUR ΤΥΧΟΝΤΟΣ N-ΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΜΕΝΟΡΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΧΩΡΟ LN00