CONTRIBUTION TO THE HILBERT'S PROBLEM 18

THE DISSERTATION IS A CONTRIBUTION TO THE SECOND PART OF HILBERT'S PROBLEM 18 WHICH CONCERNS CRYSTALLOGRAPHIC GROUPS POLYHEDRA TILLINGS. IN THIS DISSERTATION AN UPPER BOUND IS FOUND TO THE CARDINAL NUMBER OF THE I-FACES OF A SIMPLE CONVEX N- POLYTOPE THAT PERMITS A MULTI-LATTICE TILLING. AN ISOHEDRAL TILLING IS A MULTI-LATTICE TILLING. THE UPPER BOUND DEPENDS ON THE DIMENSION N AND THE MULTIPLICITY H OF THE TILLING. NUMERICAL UPPER BOUNDS ARE COMPUTED FOR THE DIMENSIONS3 AND 4. THE PREVIOUS RESULTS ARE PARTIAL ANSWERS TO THE PROBLEM D OF THE BIBLIOGRAPHY [19] (1980). ALSO TWO CONDITIONS ARE FOUND ONE NECESSARY AND ONE SUFFICIENT FOR A SIMPLE N-POLYTOPE TO PERMIT A TILLING ISOHEDRAL OR NOT. IT IS PROVED THAT THERE ARE INFINITE MANY TYPES OF PENTAGONS THAT PERMISE TILLING (ALSO ANSWER TO THE PROBLEM DN=S D=Z [19] (1980). ALSO IT IS PROVED THAT EVERY ELEMENT OF A CRYSTALLOGRAPHIC GROUP OF IRN HAS ORDER , 1,2,3,4,6 OR 12.Η ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΟ Β' ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΙΗ' ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ HILBERT ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ΚΑΛΥΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΕΔΡΑ. ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΥΤΗ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ ΕΝΑ ΑΝΩ ΦΡΑΓΜΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΤΩΝ I-ΠΛΕΥΡΩΝ ΕΝΟΣ ΑΠΛΟΥ ΚΥΡΤΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΤΥΠΟΥ Ν- ΠΟΛΥΤΟΠΟΥ ΠΟΥ ΕΠΙΤΡΕΠΕΙ ΠΟΛΥΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΛΥΨΗ. ΟΙ ΙΣΟΕΔΡΙΚΕΣ ΚΑΛΥΨΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΥΔΙΚΤΥΩΤΕΣ. ΤΟ ΦΡΑΓΜΑ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠ'ΤΗΝ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Ν ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 3 ΚΑΙ 4. ΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΕΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ D ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ [19] (1980). ΕΠΙΣΗΣ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΙΑ ΙΚΑΝΗ ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΩΣΤΕ ΑΠΛΟ Ν-ΠΟΛΥΤΟΠΟ ΝΑ ΕΠΙΤΡΕΠΕΙ ΚΑΛΥΨΗ ΙΣΟΕΔΡΙΚΗ 'Η ΟΧΙ. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ Η ΥΠΑΡΞΗ ΑΠΕΙΡΙΑΣ ΤΥΠΩΝ ΠΕΝΤΑΓΩΝΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙΤΡΕΠΟΥΝ ΚΑΛΥΨΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ [19](1980) Ι ΤΕΛΟΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΤΟΥ IRN ΕΧΕΙ ΤΑΞΗ , 1,2,3,4,6, 'Η 12