Numerical solution of ordinary differential equations with personal solution

The subject of this dissertation is the study of the numerical solution of the second order initial-value problem, the solution of which presents a periodical behaviour. Numerical methods for the numerical solution of the above general problem are being expounded. At first, a sixth order exponentially fitting method, which requires the a priori knowledge of the frequency of the problem, is being expounded. In the same category a four-step exponentially fitting method is being expounded. Afterwards, explicit and implicit methods with phase-lag of order six and eight, a part of which are P-stable while the rest have a larger interval of periodicity than the corresponding classical ones, are being expounded. These methods do not require the a priori knowledge of the frequency of the problem. In the same category an eight order hybrid method with phase-lag of order eight and with a large interval of periodicity is being expounded.Στην παρούσα διατριβή μελετάται η αριθμητική επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών δευτέρας τάξεως, του οποίου η λύση παρουσιάζει περιοδική συμπεριφορά. Αναπτύσσονται αριθμητικές μέθοδοι για την αριθμητική επίλυση του παραπάνω γενικού προβλήματος. Καταρχήν αναπτύσσεται μια έκτης τάξεως exponentially fitting μέθοδος, η οποία προαπαιτεί την γνώση της συχνότητας του προβλήματος. Στην ίδια κατηγορία αναπτύσσεται και μία τεσσάρων βημάτων exponentially fitting μέθοδος. Κατόπιν αναπτύσσονται μέθοδοι explicit και implict με phase-lag έκτης και ογδόης τάξεως εκ των οποίων άλλες είναι P-stable και άλλες έχουν μεγαλύτερο διάστημα περιοδικότητας από τις αντίστοιχες κλασσικές. Οι εν λόγω μέθοδοι δεν προαπαιτούν την γνώση της συχνότητας του προβλήματος. Στην ίδια κατηγορία αναπτύσσεται και μία υβριδική μέθοδος ογδόης τάξεως με phase-lag τάξεως ογδόης και με μεγάλο διάστημα περιοδικότητας