HERMITIAN DIFFERENTIAL GEOMETRY ON /A-BUNDLES

IN THIS WORK, WE FIRST DEVELOP METHODS OF DIFFERENTIATION SUITABLE FOR MAPPINGS BETWEEN TOPOLOGICAL A-MODULES, WHERE A IS A COMMUTATIVE LOCALLY M-CONVEX * -ALGEBRA WITH UNIT. THIS EXTENDS WELL-KNOWN METHODS OF DIFFERENTIATION ON TOPOLOGICAL VECTOR SPACES, SUCH AS FRECHET AND HYERS DIFFERENTIATION. APPLYING THE ABOVE DIFFERENTIAL CALCULUS, WE INTRODUCE THE CONCEPT OF DIFFERENTIABLE A-MANIFOLDS, THAT IS, DIFFERENTIABLE MANIFOLDS MODELLED ON TOPOLOGICAL (FINITELY GENERATED AND PROJECTIVE) A-MODULES. WE ALSO EXAMINE BASIC PROPERTIES OF THE RESPECTIVE TANGENT SPACES, DERIVATIONS AND VECTOR FIELDS. FINALLY, WE STUDY DIFFERENTIABLE BUNDLES OF FIBRE TYPE A TOPOLOGICAL A-MODULE AND PROVE THAT SUCH BUNDLES ARE PROVIDED WITH A DIFFERENTIABLE A- HERMITIAN STRUCTURE AND A COMPATIBLECONNECTION.ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΥΤΗ ΑΝΑΠΤΥΣΟΥΜΕ, ΑΡΧΙΚΑ, ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΗΣ ΓΙΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ Α-ΠΡΟΤΥΠΩΝ, ΟΠΟΥ Α ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΤΟΠΙΚΑ Μ-ΚΥΡΤΗ * -ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΕ ΜΟΝΑΔΑ. ΟΙ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΥΝ ΓΝΩΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΕΙΣ ΤΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ, Λ.Χ. ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΕΙΣ FRECHET ΚΑΙ HYERS. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ, ΕΙΣΑΓΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΩΝΑ- ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ(ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΣ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ) Α-ΠΡΟΤΥΠΑ. ΕΠΙΣΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ ΧΩΡΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ. ΤΕΛΟΣ ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΔΕΣΜΕΣ ΜΕ ΝΗΜΑΤΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ Α-ΠΡΟΤΥΠΑ ΚΑΙΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΟΙ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΔΕΣΜΕΣ ΕΦΟΔΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΗ Α-ΕΡΜΙΤΙΑΝΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΗ ΣΥΝΟΧΗ