Minimalité, équivalence entrée-sortie et identifiabilité des systèmes LPV sous forme d’état et sous forme de représentations linéaires fractionaires

Dans cette thèse, plusieurs concepts importants liés à la théorie de la réalisation des modèles linéaires à paramètres variants (LPV) sont étudiés.Tout d’abord, nous abordons le problème de l’identifiabilité des modèles LPV affines (ALPV). Une nouvelle condition suffisante et nécessaire est introduite afin de garantir l’identifiabilité structurelle pour les paramétrages ALPV. L’identifiabilité de cette classe de paramétrages est liée à l’absence d’isomorphismes liant deux représentations d’état LPV lorsque deux modèles LPV correspondant à différentes valeurs des variables de séquencement sont considérés. Nous présentons ainsi une condition suffisante et nécessaire pour l’identifiabilité structurelle locale, et une condition suffisante pour l’identifiabilité structurelle (globale) qui sont toutes deux fonction du rang d’une matrice définie par l’utilisateur. Ces dernières conditions permettent la vérification de l’identifiabilité structurelle des modèles ALPV.Ensuite, étant donné que les techniques d’identification dites locales sont parfois inévitables, nous fournissons une expression analytique de la borne supérieure de l’erreur de comportements entrées-sorties de deux modèles LPV équivalents localement. Cette erreur se révèle être une fonction de (i) la vitesse de changement du signal de séquencement et (ii) l’écart entre les bases cohérentes de deux modèles LPV. En particulier, la différence entre les sorties des deux modèles peut être arbitrairement réduite en choisissant un signal de séquencement qui varie assez lentement.Enfin, nous présentons et étudions des propriétés importantes de la transformation des représentations d’état ALPV en Représentations Linéaires Fractionnelles (LFR). Plus précisément, nous montrons que (i) les représentations ALPV minimales conduisent à des LFR minimales, et vice versa, (ii) le comportement entrée-sortie de la représentation ALPV détermine de manière unique le comportement entrée-sortie de la LFR résultante, (iii) les modèles ALPV structurellement identifiables fournissent des LFRs structurellement identifiables et vice versa. Nous caractérisons ensuite les LFRs qui correspondent á des modèles ALPV équivalents basés sur leurs applications entrées-sorties. Comme illustré tout au long du manuscrit, ces résultats ont des conséquences importantes pour l’identification et la commande des systèmes LPV.In this thesis, important concepts related to the identification of Linear Parameter-Varying (LPV) systems are studied.First, we tackle the problem of identifiability of Affine-LPV (ALPV) state-space parametrizations. A new sufficient and necessary condition is introduced in order to guarantee the structural identifiability for ALPV parameterizations. The identifiability of this class of parameterizations is related to the lack of state-space isomorphisms between any two models corresponding to different scheduling parameter values. In addition, we present a sufficient and necessary condition for local structural identifiability, and a sufficient condition for (global) structural identifiability which are both based on the rank of a model-based matrix. These latter conditions allow systematic verification of structural identifiability of ALPV models. Moreover, since local identification techniques are inevitable in certain applications, it is thus a priority to study the discrepancy between different LPV models obtained using different local techniques. We provide an analytic error bound on the difference between the input-output behaviors of any two LPV models which are frozen equivalent. This error bound turns out to be a function of both (i) the speed of the change of the scheduling signal and (ii) the discrepancy between the coherent bases of the two LPV models. In particular, the difference between the outputs of the two models can be made arbitrarily small by choosing a scheduling signal which changes slowly enough.Finally, we introduce and study important properties of the transformation of ALPV statespace representations into Linear Fractional Representations (LFRs). More precisely, we show that (i) state minimal ALPV representations yield minimal LFRs, and vice versa, (ii) the inputoutput behavior of the ALPV representation determines uniquely the input-output behavior of theresulting LFR, (iii) structurally identifiable ALPV models yield structurally identifiable LFRs, and vice versa. We then characterize LFRs which correspond to equivalent ALPV models based on their input-output maps. As illustrated all along the manuscript, these results have important consequences for identification and control of LPV systems