The Robust Solution of Linear Equations Using a Differential Equation

Diplomityön tavoitteena on muodostaa tietokonelaskennan kannalta mahdollisimman tehokas menetelmä, kun lineaarisia yhtälöryhmiä halutaan ratkaista toistuvasti. Lisäehtona on se, että peräkkäisissä yhtälöryhmissä kerroinmatriisi pysyy lähes samana. Mikäli kerroinmatriisien muutokset ovat hyvin pieniä, myös ratkaisujen muutokset ovat pieniä. Tällöin on toivottavaa, että edellisen yhtälöryhmän ratkaisua pystyy jotenkin hyödyntämään, jotta tarkasteltavalle yhtälöryhmälle ei tarvitse hakea ratkaisua kokonaan uudestaan. Tehokkaaksi menetelmäksi osoittautuu robustiin säätötekniikkaan perustuva stabiili differentiaaliyhtälösysteemi, jonka ratkaisuvektorin yksi osa suppenee kohti lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisua. Kun saatu ratkaisu asetetaan seuraavan probleeman alkutilaksi, myös seuraava ratkaisu on helppo laskea, koska yhtälöryhmien ratkaisut ovat hyvin lähellä toisiaan. Itse systeemi voidaan ratkaista millä tahansa differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmällä; tässä diplomityössä käytetään numeerisia menetelmiä. Yllä esitettyä lähestymistapaa kutsutaan DY-ratkaisijaksi. Kun DY-ratkaisijan toimintaperiaate ja parametrit on hahmoteltu, menetelmää voidaan verrata lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisussa tyypillisesti käytetyn LU-hajotelman kanssa. Vertailussa havaitaan, että DY-ratkaisija on selvästi nopeampi kuin LU-hajotelma niissä tilanteissa, joissa yhtälöryhmän kerroinmatriisi on leveä, eli matriisilla on enemmän sarakkeita kuin vaakarivejä. Ratkaisevaa on myös se, että peräkkäisissä yhtälöryhmissä kerroinmatriisien ja ratkaisuvektorien muutokset pysyvät pieninä. Riittävän pienillä muutoksilla DY-ratkaisija on LU-hajotelmaa tehokkaampi myös neliömatriisin tapauksessa. /Kir1