Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä

Hakutermit: lukuteoria, algebra, ryhmäteoria Tämä tutkielma on kirjallisuuteen perustuva selvitys lukuteorian käsitteistä primitiivinen juuri ja alkuluokkaryhmä (jäännösluokkarenkaan Z/mZ yksikköryhmä). Aluksi tutkielmassa määritellään ryhmän alkion kertaluku ja kokonaisluvun kertaluku modulo m sekä esitetään näiden perusominaisuuksia. Primitiivinen juuri määritellään kokonaisluvun kertaluvun modulo m avulla, jonka jälkeen osoitetaan, että primitiivinen juuri on myös syklisen alkuluokkaryhmän virittäjä eli generaattori. Tutkielmassa todistetaan se tunnettu tulos, että primitiivisiä juuria on olemassa vain modulin m arvoilla 1, 2, 4, p^e ja 2p^e, missä p on pariton alkuluku ja e on positiivinen kokonaisluku. Primitiivisten juurten sovelluksena esitellään käsite kokonaisluvun indeksi modulo m. Indeksien ominaisuuksien avulla ratkaistaan esimerkkinä joitain kongruensseja. Seuraavaksi osoitetaan oikeaksi se tosiasia, että jokainen alkuluokkaryhmä voidaan esittää syklisten ryhmien karteesisena tulona. Lopuksi tarkastellaan käsitteitä äärellisen ryhmän eksponentti ja kokonaisluvun universaali eksponentti, joka tunnetaan myös Carmichaelin lambda-funktiona. Ryhmän eksponentille ja kokonaisluvun universaalille eksponentille johdetaan ja todistetaan eräitä tunnettuja, mutta kirjallisuudessa harvoin todistettuja ominaisuuksia