Suppenemistestejä sarjoille

Tässä tutkielmassa käsitellään reaalitermisiä lukujonoja ja reaalitermisiä sarjoja. Aluksi esitetään lukujonon määritelmä sekä lukujonon perusominaisuuksia. Käydään läpi Cauchyn lukujonot ja osoitetaan, että lukujono on suppeneva, jos ja vain jos se on Cauchyn lukujono. Osoitetaan myös monotonisen lukujonon suppenemiselle välttämätön ehto. Lukujonon termien yhteenlaskua kutsutaan sarjaksi. Tämän tutkielman pääpaino on juuri sarjoissa. Tutkielmassa esitellään sarja määritelmineen ja tiettyine ominaisuuksineen. Käsitellään sarjan suppeneminen ja hajaantuminen sekä sarjan itseinen suppeneminen. Todistetaan, että itseisesti suppeneva sarja on suppeneva. Tutkielmassa esitellään useita suppenemistestejä sarjoille. Joihinkin suppenemistesteihin tarvitaan sarjoja, joiden suppenemisominaisuudet ovat tunnettuja. Tämän vuoksi käsitellään teleskooppiset sarjat, geometrinen sarja ja p-sarjat. Tässä tutkielmassa käsitellään vertailutesti ja sen raja-arvomuoto, osamäärätesti, juuritesti, Kummerin testi, Raaben testi, Gaussin testi ja Dirichlet’n testi. Lähdekirjallisuutena on pääasiassa käytetty Tom Apostolin teosta Mathematical Analysis, Watson Fulksin teosta Advanced Calculus ja Walter Rudinin teosta Principles of Mathematical Analysis