Funktiojonon tasainen suppeneminen

Tässä tutkielmassa käsitellään funktiojonon tasaista suppenemista. Ensin tutustutaan funktiojonon pisteittäiseen suppenemiseen, mutta huomataan sitten esimerkkien avulla, ettei funktiojonon pisteittäinen suppeneminen ole riittävän vahva ominaisuus funktiojonojen rajafunktioiden tutkimiseen. Tämän jälkeen määritellään funktiojonon tasainen suppeneminen. Tutkielmassa todistetaan neljä lausetta, jotka koskevat tasaisesti suppenevaa funktiojonoa. Ensin todistamme, että tasaisesti suppenevalla funktiojonolla, jonka kaikki funktiot ovat jatkuvia jossain tarkasteltavan välin pisteessä, on tässä pisteessä jatkuva rajafunktio. Toiseksi todistamme tärkeänlauseen, joka koskee integraalin ja rajaprosessin järjestyksen vaihtamista. Kolmanneksi todistamme lauseen, jota kutsutaan yleisesti tasaisen suppenemisen Cauchyn kriteeriksi. Se kertoo, että tasaisesti suppenevan funktiojonon termit saadaan äärettömän lähelle toisiaan, kun ollaan tarpeeksi kaukanajonossa. Viimeisenä todistamme tärkeän lauseen koskien derivaatan ja raja-arvoprosessin järjestyksen vaihtamista. Lähdeteoksina tässä tutkielmassa käytetään Tom M. Apostolin kirjaaMathematical analysis, Patrick M. Fitzpatrickin kirjaa Advanced calculus,Kenneth A. Rossin kirjaa Elementary analysis: The theory of calculus jaWilliam R. Waden kirjaa An introduction to analysis