Sur l'effectivité du théorème de Siegel et la conjecture abc

RésuméNous montrons qu'un raffinement du théorème de Siegel sur les points entiers de courbes algébriques impliquerait la conjecture abc de Masser–Oesterlé. Nous formulons une hypothèse « Siegel uniforme » qui est une majoration de la hauteur des points S-entiers de la courbe, en termes du corps de rationalité et de l'ensemble de places S. La validité de l'hypothèse pour une quelconque courbe algébrique de caractéristique d'Euler–Poincaré strictement négative, impliquerait une version de la conjecture abc. Ceci étend aux points S-entiers des résultats précédents de L. Moret-Bailly [L. Moret-Bailly, Hauteurs et classes de Chern sur les surfaces arithmétiques, Astérisque 183 (1990) 37–58], et est en quelque sorte, un énoncé réciproque de ce que nous avons montré dans [A. Surroca, Siegel's theorem and the abc conjecture, in: Proceedings of the Secondo Convegno Italiano di Teoria dei Numeri, Parma, November 2003, Riv. Mat. Univ. Parma (7) (2004) 323–332], en suivant les idées proposées par N. Elkies [N.D. Elkies, ABC implies Mordell, Int. Math. Res. Not. 7 (1991) 99–109]. Le principal outil géométrique employé est un théorème de G.V. Belyĭ. Nous montrons aussi quelques versions inconditionnelles de ces énoncés : un résultat allant dans le sens de la conjecture abc, valable sur tout corps de nombres, ainsi que des bornes pour la hauteur des solutions en S-entiers de certaines équations diophantiennes classiques