Étude asymptotique pour les fluides anisotropes en rotation rapide dans le cas périodique

RésuméDans cet article, nous étudions l'équation des fluides anisotropes tournants qui évoluent dans un tore tridimensionnel. L'anisotropie du fluide porte sur la viscosité verticale qui peut être considérée comme nulle. On va démontrer que l'équation est bien posée sur des intervalles de temps arbitrairement grands, lorsque le nombre de Rossby est assez petit, et aussi que la suite des solutions « filtrées » tend vers la solution du système limite. Ces résultats sont démontrés pour tous les tores (sans imposer de condition de non-résonance sur le domaine), dans un cadre fonctionnel très proche du niveau critique de régularité. Lorsque la donnée initiale est de moyenne horizontale nulle, dans le cas de tores non-résonants ainsi que pour certains tores résonants, on obtient l'existence globale et l'unicité de la solution.AbstractIn this paper we study the equation of an anisotropic rotating fluid evolving in a three-dimensional torus. The anisotropy of the fluid concerns the vertical viscosity which can be considered to be null. We prove that the equation is well posed on arbitrarily long time intervals, if the Rossby number is small enough. We also prove that the “filtered” solutions converge to the solution of the limit system. Those results hold for all tori (without imposing the non-resonant condition on the domain), in a functional frame very close to the critical regularity level. When the initial data is of null horizontal average, in the case of non-resonant tori as well as for certain resonant tori, we obtain the global existence and uniqueness of the solution