The axiomatization of linear algebra: 1875-1940

Modern linear algebra is based on vector spaces, or more generally, on modules. The abstract notion of vector space was first isolated by Peano (1888) in geometry. It was not influential then, nor when Weyl rediscovered it in 1918. Around 1920 it was rediscovered again by three analysts—Banach, Hahn, and Wiener—and an algebraist, Noether. Then the notion developed quickly, but in two distinct areas: functional analysis, emphasizing infinitedimensional normed vector spaces, and ring theory, emphasizing finitely generated modules which were often not vector spaces. Even before Peano, a more limited notion of vector space over the reals was axiomatized by Darboux (1875).L'algèbre linéare moderne a pour concept fondamental l'espace vectoriel ou, plus généralement, le concept de module. Peano (1888) fut le premier à identifier la notion abstraite d'espace vectoriel dans le domaine de la géometric, alors qu'avant lui Darboux avait déjà axiomatisé une notion plus étroite. La notion telle que définie par Peano cut d'abord peu de répercussion, même quand Weyl la redécouvrit en 1918. C'est vers 1920 que les travaux d'analyse de Banach, Hahn, et Wiener ainsi que les recherches algébriques d'Emmy Noether mirent vraiment l'espace vectoriel à l'honneur. A partir de là, la notion se développa rapidement, mais dans deux domaines distincts: celui de l'analyse fonctionnelle où Yon utilisait surtout les espaces vectoriels de dimension infinie, et celui de la théorie des anneaux où les plus importants modules etaient ceux qui sont générés par un nombre fini d'éléments et qui, pour la plupart, ne sont pas des espaces vectoriels.Grundlage der modernen linearen Algebra sind Vektorraume oder, allgemeiner, Moduln. Der abstraiete Begriff des Vektorraumes wurde zuerst von Peano (1888) in der Geometric herausgearbeitet. Er gewann damals kaum Einfluβ, and auch dann noch nicht, als er 1918 von Weyl wiederentdeckt wurde. Um 1920 wurde er von drei Analytikern—Banach, Hahn, Wiener—und einer Algebraikerin, Noether, nochmals wiederentdeckt. Danach wurde der Begriff rasch weiterentwickelt, allerdings auf zwei unterschiedlichen Gebieten: in der Funktionalanalysis unter Betonung endlich-dimensionaler normierter Vektorräume and in der Ringtheorie unter Betonung endlich erzeugter Moduln, die oft keine Vektorräume Bind. Noch vor Peano wurde ein eingeschränkterer Begriff des Vektorraumes über den reellen Zahlen von Darboux (1875) axiomatisiert