Indice et décomposition de Cartan d'une algèbre de Lie semi-simple réelle

RésuméLa décomposition d'Iwasawa g0=k0⊕aˆ0⊕n0 issue de la décomposition de Cartan g0=k0⊕p0 d'une algèbre de Lie semi-simple réelle permet d'écrire g0 sous la forme g0=k0⊕b0, avec b0=aˆ0⊕n0. Dans cet article, on donne une formule explicite pour l'indice, indb, de b, où b est le complexifié de b0. Précisément, on montre le résultat suivant :indb=rgg−rgk, où g et k sont respectivement les complexifiés de g0 et de k0. Nous répondons en particulier de façon positive à une question posée par Raïs dans [M. Raïs, Notes sur l'indice des algèbres de Lie, preprint, 2004] : l'indice est-il additif dans la décomposition suivante : g0=k0⊕b0 ? La démonstration repose sur la construction de Kostant et utilise les transformations de Cayley. On donne en outre une caractérisation des algèbres de Lie semi-simples réelles g0 pour lesquelles la sous-algèbre b0 possède une forme stable.AbstractThe Iwasawa decomposition g=k0⊕aˆ0⊕n0 of the real semisimple Lie algebra g0 comes from its Cartan decomposition g0=k0⊕p0. Then we get g0=k0⊕b0 where b0=aˆ0⊕n0. In this note, we establish an explicite formula for the index, indb, of b, where b is the complexification of b0. More precisely, we show the following result:indb=rgg−rgk, where g and k are respectively the complexifications of g0 and k0. In particular, this answers positively a question by Raïs in [M. Raïs, Notes sur l'indice des algèbres de Lie, preprint, 2004]: is the index additive for the following decomposition: g0=k0⊕b0? In the proof, we use the Kostant construction and the Cayley transforms. We also give a characterization of the semisimple real Lie algebra g0 whose subalgebra b0 has a stable form