Ein Reziprozitätsgesetz in galoisfeldern

ZusammenfassungIn einer früheren Arbeit [K. Burde, J. Reine Angew. Math., 293/294 (1977), 418] formulierte ich Reziprozitätsgesetze für kubische und biquadratische Reste als Beziehungen in einem Restklassenkörper Zp und leitete aus diesen entsprechende komplexe und rationale Reziprozitätsgesetze ab. Die dortigen Ergebnisse werden hier in zweierlei Hinsicht verallgemeinert. Zum einen werden jetzt beliebige n-te Potenzreste betrachtet, zum andern wird der Restklassenkörper Zp = GF(p) durch ein beliebiges Galoisfeld GF(pf) ersetzt. Letzteres gestattet—in der komplexen Anwendung—die Behandlung der komplexen Reziprozitätsgesetze auch in den Fällen, in denen Primideale eines Grades f > 1 auftreten. In §1 wird ein “Reziprozitätsgesetz für n-te Potenzreste in Galoisfeldern” aufgestellt. Aus diesem werden in §2 komplexe und in §3 rationale Reziprozitätsgesetze gewonnen. Einige, für das Verständnis nicht wesentliche Beweise sind in einem Anhang zusammengestellt, auf den mit—(A.∗)—verwiesen wird