Le Théorème de Paley-Wiener pour l'espace des fonctions indéfiniment différentiables et à support compact sur un espace symétrique de type non-compact

RésuméSoient G un groupe de Lie réel connexe semi-simple à centre fini, K un sousgroupe compact maximal, D l'espace des fonctions C∞à support compact sur GK, D0 le sous espace de D formé des éléments qui sont K-invariants. Lorsque, de plus, le groupe G est muni d'une structure complexe il résulte de Zelobenko (Math. USSR Izv.3 (1969), 881–915; 1183–1217) que l'étude des transformées de Fourier des éléments de D se ramène, par des méthodes algébriques, à celle des éléments de D0. Nous montrons que, grâce aux résultats de Kostant (Bull. Amer. Math. Soc.75 (1969), 627–642), il en est de même dans le cas général. On obtient ainsi une nouvelle démonstration — plus simple — du théorème de Paley-Wiener sur GK (dûà Helgason (Ann. of Math.98 (1973), 451–479)), ainsi que des renseignements sur la structure du sous espace Dk de D, formé des éléments K-finis, considéré comme module sur D0