Kongruenzen zwischen Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper

ZusammenfassungDer Zusammenhang zwischen den Klassenzahlen der quadratischen Körper mit den Diskriminanten D und −3D ist bereits mehrfach in Arbeiten von Scholz [9], Herz [4], Ankeny, Artin und Chowla [1] untersucht worden. Alle diese Resultate beziehen sich auf die Teilbarkeit durch 3 der beiden Klassenzahlen. Ähnliche Untersuchungen über die Beziehung zwischen den Klassenzahlen der Körper Q(D1/2) und Q((−4D)1/2) sind in [8] durchgeführt worden.In der vorliegenden Arbeit werden nun allgemein Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen von Q(D1/2), D > 0, und Q((D0D)1/2) für eine beliebige negative Diskriminante D0 hergeleitet. Der Ausgangspunkt ist dabei ähnlich wie in [8] eine Klassenzahlformel von Dirichlet-Kronecker-Meyer sowie eine daraus nach einer Methode von Stark abgeleitete Klassenzahlformel. Die erstgenannte Klassenzahlformel kommt dadurch zustande, daß man den Körper Q(D1/2, D012) einmal als Kreiskörper und zum anderen als relativabelsche Erweiterung des reell-quadratischen Körpers Q(D1/2) auffaßt. Die in den Klassenzahlformeln auftretenden Klasseninvarianten sind rationale Zahlen. Aus der arithmetischen Struktur dieser Invarianten, die abgesehen von einer Ergänzung in Abschnitt 2 bereits von Lang in [5] untersucht worden ist, lassen sich neuartige Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen quadratischer Körper herleiten. Als Folgerung aus diesen Kongruenzen ergeben sich erneut einige der mittels komplexer Multiplikation bewiesenen Teilbarkeitsaussagen aus [8], sowie ein großer Teil der Resultate in [1, 4, 9]