Cocientes de variedades por acciones de grupos reductivos

Consideramos el anillo de polinomios R = K[x1, . . . , xn] en las variables x1, . . . , xn y coeficientes complejos. El grupo de permutaciones de 1, . . . , n actúa sore R permutando las variables. El conjunto de invariantes por esta acción forma un anillo generado por los polinomios simétricos elementales. Emmy Noether prueba que si un grupo finito de matrices inversibles G ⊂ GL(n; k) actúa sobre R, entonces el anillo de invariantes es generado por un número finito de invariantes homogéneos y define un operador en G para obtener polinomios invariantes. Existen relaciones algebraicas entre los generadores del anillo de invariantes y las órbitas de Cn/G. En 1963, Masayoshi Nagata demostró que el anillo de los invariantes de los grupos geométricamente reductivos es finitamente generado. Analizamos la existencia de una variedad cociente X/G donde G es un grupo algebraico actuando sobre una variedad algebraica X