A duality method for non-convex problems in Calculus of Variations

Dans cette thèse, nous étudions un principe général de convexification permettant de traiter certainsproblèmes variationnels non convexes sur Rd. Grâce à ce principe nous pouvons mettre en oeuvre lespuissantes techniques de dualité et ramener de tels problèmes à des formulations de type primal–dualdans Rd+1, rendant ainsi efficace la recherche numérique de minima globaux. Une théorie de ladualité et des champs de calibration est reformulée dans le cas de fonctionnelles à croissance linéaire.Sous certaines hypothèses, cela nous permet de généraliser un principe d’exclusion découvert parVisintin dans les années 1990 et de réduire le problème initial à la minimisation d’une fonctionnelleconvexe sur Rd. Ce résultat s’applique notamment à une classe de problèmes à frontière libre oumulti-phasique donnant lieu à des tests numériques très convaincants au vu de la qualité des interfacesobtenues. Ensuite nous appliquons la théorie des calibrations à un problème classique de surfacesminimales avec frontière libre et établissons de nouveaux résultats de comparaison avec sa varianteoù la fonctionnelle des surfaces minimales est remplacée par la variation totale. Nous généralisonsla notion de calibrabilité introduite par Caselles-Chambolle et Al. et construisons explicitementune solution duale pour le problème associé à la seconde fonctionnelle en utilisant un potentiellocalement Lipschitzien lié à la distance au cut-locus. La dernière partie de la thèse est consacrée auxalgorithmes d’optimisation de type primal-dual pour la recherche de points selle, en introduisant denouvelles variantes plus efficaces en précision et temps calcul. Nous avons en particulier introduit unevariante semi-implicite de la méthode d’Arrow-Hurwicz qui permet de réduire le nombre d’itérationsnécessaires pour obtenir une qualité satisfaisante des interfaces. Enfin nous avons traité la nondifférentiabilité structurelle des Lagrangiens utilisés à l’aide d’une méthode géométrique de projectionsur l’épigraphe offrant ainsi une alternative aux méthodes classiques de régularisation.In this thesis, we study a general principle of convexification to treat certain non convex variationalproblems in Rd. Thanks to this principle we are able to enforce the powerful duality techniques andbring back such problems to primal-dual formulations in Rd+1, thus making efficient the numericalsearch of a global minimizer. A theory of duality and calibration fields is reformulated in the caseof linear-growth functionals. Under suitable assumptions, this allows us to revisit and extend anexclusion principle discovered by Visintin in the 1990s and to reduce the original problem to theminimization of a convex functional in Rd. This result is then applied successfully to a class offree boundary or multiphase problems that we treat numerically obtaining very accurate interfaces.On the other hand we apply the theory of calibrations to a classical problem of minimal surfaceswith free boundary and establish new results related to the comparison with its variant where theminimal surfaces functional is replaced by the total variation. We generalize the notion of calibrabilityintroduced by Caselles-Chambolle and Al. and construct explicitly a dual solution for the problemassociated with the second functional by using a locally Lipschitzian potential related to the distanceto the cut-locus. The last part of the thesis is devoted to primal-dual optimization algorithms forthe search of saddle points, introducing new more efficient variants in precision and computationtime. In particular, we experiment a semi-implicit variant of the Arrow-Hurwicz method whichallows to reduce drastically the number of iterations necessary to obtain a sharp accuracy of theinterfaces. Eventually we tackle the structural non-differentiability of the Lagrangian arising fromour method by means of a geometric projection method on the epigraph, thus offering an alternativeto all classical regularization methods