Aritmética de cuerpos de números. Álgebra conmutativa y teoría de Galois

Los cuerpos de números son los objetos centrales de la teoría de números. Los posibles análogos del teorema fundamental de la aritmética en los anillos de enteros de estos cuerpos nos trasladan a pensar, ¿cómo y bajo que condiciones se tiene factorización de ideales como producto de ideales primos?. En esta charla discutiremos las propiedades esenciales que como anillos satisfacen los enteros en un cuerpo de números, las propiedades de las extensiones del cuerpo de los racionales y los ejemplos mas naturales de dichas propiedades. Las herramientas del álgebra conmutativa, la teoría de números y la teoría de Galois nos dan un marco teórico dentro del cual es posible explorar estas propiedades, para finalizar con una ilustración clara del teorema de Kronecker-Weber.Fields of numbers are the central objects of number theory. The possible analogues of the fundamental theorem of arithmetic in the rings of integers of these fields lead us to think, how and under what conditions are the factorization of ideals as the product of prime ideals? In this thesis we will discuss the essential properties that a integer ring satisfy in a field of numbers, the properties of the extensions of the rational field, and the most natural examples of such properties. The tools of commutative algebra, number theory and Galois theory give us a theoretical framework in which it is possible to explore these properties, to conclude with a clear illustration of Kronecker-Weber's theorem