Relations de Hodge--Riemann et combinatoire des matroïdes (d'après K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz)

Séminaire Bourbaki 2017/2018, 70e année, exposé 1144, mars 2018. in FrenchFinite matroids are combinatorial structures that express the concept of linear independence. In 1964, G.-C. Rota conjectured that the coefficients of the "characteristic polynomial" of a matroid $M$, polynomial whose coefficients enumerate its subsets of given rank, form a log-concave sequence. K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz have proved this conjecture using methods which, although entirely combinatorial, are inspired by algebraic geometry. From the Bergman fan of the matroid $M$, they define a graded "Chow ring" $A(M)$ for which they prove analogs of the Poincar\'e duality, the Hard Lefschetz theorem, and the Hodge--Riemann relations. The sought for log-concavity inequalities are then analogous to the Khovanskii--Teissier inequalities.Les matroïdes finis sont des structures combinatoires qui exprimentla notion d'indépendance linéaire.En 1964, G.-C.~Rota conjectura que lescoefficients du « polynôme caractéristique » d'un matroïde $M$,polynôme dont les coefficients énumèrent ses sous-ensembles de rang donné,forment une suite log-concave.K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz viennent de démontrercette conjecture par des méthodes qui, bien qu'entièrementcombinatoires, sont inspirées par la géométrie algébrique.À partir de l'éventail de Bergman du matroïde $M$, ils définissenten effet un « anneau de Chow » gradué $A(M)$ pour lequelils établissent des analogues de la dualité de Poincaré, du théorème de Lefschetz difficileet des relations de Hodge--Riemann. Les inégalités de log-concavité recherchéessont alors analogues aux inégalités de Khovanskii--Teissier