Conformal gauge theories, Cartan geometry and transitive Lie algebroids

Notre connaissance actuelle de l'Univers repose sur l'existence de quatre interactions fondamentales, qui sont la gravitation, l'électromagnétisme, l'interaction forte et l'interaction faible. Je m'intéresse dans ma thèse à l'aspect classique des théories physiques sous-jacentes, appelées « théories de jauge ». Dans un premier temps, ma démarche consiste à étudier la formulation mathématiques de ces théories de jauge afin de mettre en lumière certaines structures géométrico-algébriques sous-jacentes. Dans un second temps, on propose de nouveaux cadres mathématiques possibles pour formuler des théories de jauge. On a exploré pour cela la géométrie conforme et les théories de jauge de la gravitation conforme associées, le tout formulé dans le langage de la géométrie de Cartan. En appliquant la méthode de l'habillage, qui consiste à réduire la symétrie de jauge d'une théorie par un simple changement de variable, on retrouve les objets habituellement définis dans une telle géométrie, comme les Tractors et les Twistors, avec en prime une meilleure compréhension de leur nature géométrique. On présente également le cadre des algébroïdes de Lie transitifs, et différentes façons de formuler des théories de jauge unifiées en son sein, où différents secteurs des théories fondamentales émergent naturellement d'un même lagrangien. Finalement, nous présentons un travail récent consistant à combiner géométrie de Cartan et algébroïdes de Lie transitifs, donnant une définition d'une connexion de Cartan dans ce langage, en nous attachant à démontrer l'équivalence de cette définition avec la définition usuelle en termes de fibrés principaux.Our current knowledge about Universe rests on the existence of four fundamental interactions. These are : gravitation, electromagnetism, weak interaction and strong interaction. They have formed the conceptual basis of modern physics since half a century. I am interested in the classical aspect of the underlying physical theories : « gauge theories ». First, my approach consists in studying gauge theories in their mathematical formulation, in order to enlighten some underlying geometrico-algebraic structures. Second, generalized mathematical frameworks are proposed to formulate gauge theories. We explored conformal geometry and its associated conformal gauge theories, formulated in the language of Cartan geometry. Applying the dressing field method, which consists in reducing the gauge symmetry of a theory by a mere change of variables, we recover some objects usually defined in this geometry, as Tractors and Twistors. The bonus is that we get a deeper understanding of their geometric nature. We also present the theory of transitive Lie algebroids, and different ways of formulating unified gauge theories in this framework, where different sectors of fundamental theories emerge together in a same lagrangian. Finally, we present a recent work which consists in combining Cartan geometry and transitive Lie algebroids, given a definition of a Cartan connection in this framework. We show the equivalence of this definition with the usual one on principal fibre bundles