Transition to chaos in confined natural convection : Lagrangian and Eulerian descriptions

Cette thèse est une étude numérique d'un écoulement d'air dans une cavité différentiellement chauffée bidimensionnelle en présence de gravité. Pour un rapport hauteur/largeur de deux et des parois horizontales supposées adiabatiques, l'écoulement de base correspond à une recirculation autour de la cavité avec un coeur stratifié et des couches limites verticales. Les équations de Navier-Stokes sont résolues par un code de simulation numérique directe spectrale instationnaire basé sur l’hypothèse de Boussinesq couplé à un algorithme de suivi de particules avec interpolation. Le nombre de Rayleigh basé sur la différence de température est choisi comme paramètre de contrôle de l’écoulement. La transition vers le chaos au sein de cet écoulement est explorée à la fois du point de vue eulérien (développement de l’instationnarité) et lagrangien (mélange chaotique).L'approche lagrangienne considère le mélange de traceurs passifs infinitésimaux non diffusifs. L'étude se base sur l'identification d'objets invariants de la dynamiques : points fixes, orbites périodiques et leurs variétés stable/instable, connections homoclines et hétéroclines, trajectoires toroïdales. Le mélange des traceurs est partiel lorsque l'écoulement subit une première bifurcation de Hopf. La dispersion globale des traceurs résulte d'un compromis entre la présence de tores Kolmogorov-Arnold-Moser qui jouent le rôle de barrières au mélange, et d'enchevêtrements homoclines/hétéroclines responsables du chaos lagrangien. L'étude statistique des temps de retour et du taux d'homogénéisation révèle la présence de zones où la dynamique est non hyperbolique. En augmentant le nombre de Rayleigh, le mélange devient progressivement complet avant que l'écoulement ne devienne quasi-périodique en temps. L'approche eulérienne considère les divers scénarios de transition vers le chaos par l'identification numérique d'attracteurs et des bifurcations associées lorsque le nombre de Rayleigh varie. Deux routes principales se distinguent en fonction des symétries associées aux deux premières bifurcations de Hopf du système, contenant chacune plusieurs branches hystérétiques. Trente trois régimes différents sont identifiés et analysés depuis l'écoulement stationnaire jusqu'à un écoulement chaotique voire hyperchaotique. Parmi ceux-ci, des branches de tores à deux et trois fréquences incommensurables, ainsi que des régimes intermittents sont examinés. Des diagrammes de bifurcations qualitatifs et quantitatifs sont proposés pour résumer l'ensemble des dynamiques observées.This thesis is about the numerical study of an air flow inside a two dimensionally heated cavity. The aspect ratio height/width is set to two. Boundary conditions on horizontal walls are taken as adiabatic. In this case, the base flow consists of a recirculation around the stratified core of the cavity and of boundary layers along the vertical walls. The Navier-Stokes equations are solved using a spectral direct numerical simulation code under the Boussinesq assumption coupled with a particle tracking scheme based on interpolation. The Rayleigh number, based on the temperature difference is chosen as the control parameter of the system. The transition to chaos in this flow is considered both from the Eulerian and Lagrangian point of view.The Lagrangian point of view considers the mixing of point-wise non-diffusive passive tracers. The study is based on the identification of invariant objects: fixed points, periodic orbits and their stable/unstable manifolds,homoclinic and heteroclinic connections, toroidal trajectories.The mixing of tracers is partial when the flow undergoes the first Hopf bifurcation. The complete mixing of tracers results from a compromise between Kolmogorov-Arnold-Moser's tori, which act as barriers to mixing, and homoclinic/heteroclinic tangles which are responsible for the mixing.The statistical study of return times and the homogenisation rate shows regionswhere the dynamics is non-hyperbolic. When the Rayleigh number is increased, mixing is increasingly complete before the flow becomes quasi-periodic in time.The Eulerian description considers the transition to chaos via the numerical identification of attractors and their associated bifurcations when the Rayleigh number is varied. Two main routes are found depending on the symmetries associated with the first two Hopf bifurcations of the system. A total of thirty three different regimes are identified from steady to hyperchaotic, among which two- and three-frequency tori as well as intermittent dynamics. Both quantitative and qualitative bifurcation diagrams are suggested for the system