Inverse method for fractional Mobile-Immobile Model

L’étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D’autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l’associant à des durées d’immobilisation sans moyenne finie, en fait distribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplacements régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodynamique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.Nous montrons comment mettre en œuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d’outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimentales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des paramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu’on sait mesurer directement, comme la densité d’un traceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d’inversion qui permet d’extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales. Cette méthode d’inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle utilise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.Après avoir testé cette méthode en l’appliquant à des données numériques en essayant de retrouver leurs paramètres à "l’aveugle", nous l’appliquons à des données issues d’une expérience de traçage en milieu poreux insaturéAppealing models for mass transport in porous media assume that fluid and tracer particles can be trapped during random periods. Among them, the fractional version of the Mobile Immobile Model (f-MIM) was found to agree with several tracer test data recorded in environmental media.This model is equivalent to a stochastic process whose density probability function satisfies an advection-diffusion equation equipped with a supplementary time derivative, of non-integer order. The stochastic process is the hydrodynamic limit of random walks accumulating convective displacements, diffusive displacements, and stagnation steps of random duration distributed by a stable Lévy law having no finite average. Random walk and fractional differential equation provide complementary simulation methods.We describe that methods, in view of having tools for comparing the model with tracer test data consisting of time concentration curves. An other essential step in this direction is finding the four parameters of the fractional equation which make its solutions fit at best given sets of such data. Hence, we also present an inversion method adapted to the f-MIM. This method is based on Laplace transform. It exploits the link between model's parameters and Laplace transformed solutions to f-MIM equation. The link is exact in semi-infinite domains. After having checked inverse method's efficiency for numerical artificial data, we apply it to real tracer test data recorded in non-saturated porous san