Efficient solvers for constrained optimization in parameter identification problems

Cette thèse vise à concevoir des solveurs efficaces pour résoudre des systèmes linéaires, résultant des problèmes d'optimisation sous contraintes dans certaines applications de dynamique des structures et vibration (la corrélation calcul-essai, la localisation d'erreur, le modèle hybride, l'évaluation des dommages, etc.). Ces applications reposent sur la résolution de problèmes inverses, exprimés sous la forme de la minimisation d'une fonctionnelle en énergie. Cette fonctionnelle implique à la fois, des données issues d'un modèle numérique éléments finis, et des essais expérimentaux. Ceci conduit à des modèles de haute qualité, mais les systèmes linéaires point-selle associés, sont coûteux à résoudre. Nous proposons deux classes différentes de méthodes pour traiter le système. La première classe repose sur une méthode de factorisation directe profitant de la topologie et des propriétés spéciales de la matrice point-selle. Après une première renumérotation pour regrouper les pivots en blocs d'ordre 2. L'élimination de Gauss est conduite à partir de ces pivots et en utilisant un ordre spécial d'élimination réduisant le remplissage. Les résultats numériques confirment des gains significatifs en terme de remplissage, jusqu'à deux fois meilleurs que la littérature pour la topologie étudiée. La seconde classe de solveurs propose une approche à double projection du système étudié sur le noyau des contraintes, en faisant une distinction entre les contraintes cinématiques et celles reliées aux capteurs sur la structure. La première projection est explicite en utilisant une base creuse du noyau. La deuxième est implicite. Elle est basée sur l'emploi d'un préconditionneur contraint avec des méthodes itératives de type Krylov. Différentes approximations des blocs du préconditionneur sont proposées. L'approche est implémentée dans un environnement distribué parallèle utilisant la bibliothèque PETSc. Des gains significatifs en terme de coût de calcul et de mémoire sont illustrés sur plusieurs applications industrielles.This thesis aims at designing efficient numerical solution methods to solve linear systems, arising in constrained optimization problems in some structural dynamics and vibration applications (test-analysis correlation, model error localization,hybrid model, damage assessment, etc.). These applications rely on solving inverse problems, by means of minimization of an energy-based functional. This latter involves both data from a numerical finite element model and from experimental tests, which leads to high quality models, but the associated linear systems, that have a saddle-point coefficient matrices, are long and costly to solve. We propose two different classes of methods to deal with these problems. First, a direct factorization method that takes advantage of the special structures and properties of these saddle point matrices. The Gaussian elimination factorization is implemented in order to factorize the saddle point matrices block-wise with small blocks of orders 2 and using a fill-in reducing topological ordering. We obtain significant gains in memory cost (up to 50%) due to enhanced factors sparsity in comparison to literature. The second class is based on a double projection of the generated saddle point system onto the nullspace of the constraints. The first projection onto the kinematic constraints is proposed as an explicit process through the computation of a sparse null basis. Then, we detail the application of a constraint preconditioner within a Krylov subspace solver, as an implicit second projection of the system onto the nullspace of the sensors constraints. We further present and compare different approximations of the constraint preconditioner. The approach is implemented in a parallel distributed environment using the PETSc library. Significant gains in computational cost and memory are illustrated on several industrial applications