Combinatorial Algorithms and Optimization

Nous introduisons d'abord la classe des graphes k-dégénérés qui est souvent utilisée pour modéliser des grands graphes épars issus du monde réel. Nous proposons de nouveaux algorithmes d'énumération pour ces graphes. En particulier, nous construisons un algorithme énumérant tous les cycles simples de tailles fixés dans ces graphes, en temps optimal.Nous proposons aussi un algorithme dont la complexité dépend de la taille de la solution pour le problème d'énumération des cliques maximales de ces graphes. Dans un second temps nous considérons les graphes en tant que systèmes distribués et nous nous intéressons à des questions liées à la notion de couplage lorsqu’aucune supposition n’est faite sur l'état initial du système, qui peut donc être correct ou incorrect. Dans ce cadre nous proposons un algorithme retournant une deux tiers approximation du couplage maximum.Nous proposons aussi un algorithme retournant un couplage maximal quand les communications sont restreintes de telle manière à simuler le paradigme du passage de message. Le troisième objet d'étude n'est pas directement lié à l'algorithmique de graphe, bien que quelques techniques classiques de ce domaine soient utilisées pour obtenir certains de nos résultats.Nous introduisons et étudions certaines familles de polytopes, appelées Zonotopes Primitifs, qui peuvent être décrits comme la somme de Minkowski de vecteurs primitifs. Nous prouvons certaines propriétés combinatoires de ces polytopes et illustrons la connexion avec le plus grand diamètre possible de l'enveloppe convexe de points à coordonnées entières à valeurs dans [k], en dimension d. Dans un second temps,nous étudions des paramètres de petites instances de Zonotopes Primitifs, tels que leur nombre de sommets, entre autres.We start by studying the class of k-degenerate graphs which are often used to model sparse real-world graphs. We focus one numeration questions for these graphs. That is,we try and provide algorithms which must output, without duplication, all the occurrences of some input subgraph. We investigate the questions of finding all cycles of some givensize and all maximal cliques in the graph. Ourtwo contributions are a worst-case output sizeoptimal algorithm for fixed-size cycleenumeration and an output sensitive algorithmfor maximal clique enumeration for this restricted class of graphs. In a second part weconsider graphs in a distributed manner. Weinvestigate questions related to finding matchings of the network, when no assumptionis made on the initial state of the system. Thesealgorithms are often referred to as selfstabilizing.Our two main contributions are analgorithm returning an approximation of themaximum matching and a new algorithm formaximal matching when communication simulates message passing. Finally, weintroduce and investigate some special families of polytopes, namely primitive zonotopes,which can be described as the Minkowski sumof short primitive vectors. We highlight connections with the largest possible diameter ofthe convex hull of a set of points in dimension d whose coordinates are integers between 0 and k.Our main contributions are new lower bounds for this diameter question as well as descriptions of small instances of these objects