Invariant sets techniques for analysis and synthesis of robust control laws for uncertain systems

Le travail de recherche concrétisé par ce mémoire de thèse se trouve à l’intersection de deux domaines importants, la commande robuste des systèmes linéaires (LTI, LPV, en commutation) à temps discret affectés par des perturbations permanentes bornées et des contraintes et les ensembles invariants ellipsoïdaux maximal ou minimal. La première partie de ce mémoire se focalise sur l’analyse de la stabilité entrée-état (en anglais ISS) du système par rapport à une perturbation bornée et le calcul des ensembles invariants ellipsoïdaux minimal ou maximal (ou sous forme d’ellipsoïdes tronqués) satisfaisant les contraintes. La deuxième partie envisage la synthèse d’une commande par retour d’état ISS stable et robuste vis-à-vis de perturbations bornées, garantissant l’ellipsoïde invariant maximal satisfaisant les contraintes ; puis la synthèse d’une loi decommande par retour d’état et observateur ISS stable vis-à-vis de perturbations bornées, garantissant une certaine performance ; enfin la synthèse d’un paramètre de Youla afin de garantir la projection maximale sur le sous-espace de l’état initial. La projection obtenue possède alors un volume plus grand que celui obtenu sans le paramètre de Youla d’où une amélioration en termes de robustesse. Une dernière étape vise à obtenirun compromis entre la robustesse et la performance en utilisant des critères basés sur le placement de pôles ou sur la vitesse de décroissance de la fonction de Lyapunov. Tous les résultats théoriques obtenus sont exprimés sous forme d’inégalités matricielles et sont validés en simulation et de façon expérimentale dans le cadre de la commande d’un convertisseur de puissance.The research concretized in this memory is located at the intersection of two important fields, the robust control of discrete-time linear systems (LTI, LPV, switched) affected by bounded disturbances and constraints and the ellipsoidal invariant sets theory.The first part of this memory focuses on the analysis of input-to-state stability (ISS) over a bounded perturbation and the computation of the maximal or minimal invariant ellipsoidal (or truncated ellipsoidal) set satisfying the constraints. The second part is considering the synthesis of a control state feedback law ISS stable and robust over bounded disturbances, ensuring the maximal ellipsoidal invariant set satisfying the constraints, then the synthesis of an observer-based control law ISS stable over bounded disturbances,ensuring a certain performance, and finally the design of a Youla parameter guaranteeing the maximal ellipsoidal projection on the initial state subspace. The resulting projection has a volume greater than the one obtained without the Youla parameter resulting an improvement in terms of robustness. A final step is to obtain a compromise between robustness and performance using criteria based on poles placement or on theLyapunov function decreasing rate. The theoretical results are expressed as matrix inequalities and are validated in simulation and and experimentally on a Buck DC-DC converter