Une approche par la géométrie tropicale et la convexité discrète de la programmation bi-niveau : application à la tarification des données dans les réseaux mobiles de télécommunications

La programmation bi-niveau désigne une classe de problèmes d'optimisation emboîtés impliquant deux joueurs.Un joueur meneur annonce une décision à un joueur suiveur qui détermine sa réponse parmi l'ensemble des solutions d'un problème d'optimisation dont les données dépendent de la décision du meneur (problème de niveau bas).La décision optimale du meneur est la solution d'un autre problème d'optimisation dont les données dépendent de la réponse du suiveur (problème de niveau haut).Lorsque la réponse du suiveur n'est pas unique, on distingue les problèmes bi-niveaux optimistes et pessimistes,suivant que la réponse du suiveur soit respectivement la meilleure ou la pire possible pour le meneur.Les problèmes bi-niveaux sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes de tarification. Dans les applications étudiées ici, le meneur est un vendeur qui fixe un prix, et le suiveur modélise le comportement d'un grand nombre de clients qui déterminent leur consommation en fonction de ce prix. Le problème de niveau bas est donc de grande dimension.Cependant, la plupart des problèmes bi-niveaux sont NP-difficiles, et en pratique, il n'existe pas de méthodes générales pour résoudre efficacement les problèmes bi-niveaux de grande dimension.Nous introduisons ici une nouvelle approche pour aborder la programmation bi-niveau.Nous supposons que le problème de niveau bas est un programme linéaire, en variables continues ou discrètes,dont la fonction de coût est déterminée par la décision du meneur.Ainsi, la réponse du suiveur correspond aux cellules d'un complexe polyédral particulier,associé à une hypersurface tropicale.Cette interprétation est motivée par des applications récentes de la géométrie tropicale à la modélisation du comportement d'agents économiques.Nous utilisons la dualité entre ce complexe polyédral et une subdivision régulière d'un polytope de Newton associé pour introduire une méthode dedécomposition qui résout une série de sous-problèmes associés aux différentes cellules du complexe.En utilisant des résultats portant sur la combinatoire des subdivisions, nous montrons que cette décomposition mène à un algorithme permettant de résoudre une grande classe de problèmes bi-niveaux en temps polynomial en la dimension du problème de niveau bas lorsque la dimension du problème de niveau haut est fixée.Nous identifions ensuite des structures spéciales de problèmes bi-niveaux pour lesquelles la borne de complexité peut être améliorée.C'est en particulier le cas lorsque la fonction coût du meneur ne dépend que de la réponse du suiveur.Ainsi, nous montrons que la version optimiste du problème bi-niveau peut être résolue en temps polynomial, notammentpour des instancesdans lesquelles les données satisfont certaines propriétés de convexité discrète.Nous montrons également que les solutions de tels problèmes sont des limites d'équilibres compétitifs.Dans la seconde partie de la thèse, nous appliquons cette approche à un problème d'incitation tarifaire dans les réseaux mobiles de télécommunication.Les opérateurs de données mobiles souhaitent utiliser des schémas de tarification pour encourager les différents utilisateurs à décaler leur consommation de données mobiles dans le temps, et par conséquent dans l'espace (à cause de leur mobilité), afin de limiter les pics de congestion.Nous modélisons cela par un problème bi-niveau de grande taille.Nous montrons qu'un cas simplifié peut être résolu en temps polynomial en utilisant la décomposition précédente,ainsi que des résultats de convexité discrète et de théorie des graphes.Nous utilisons ces idées pour développer une heuristique s'appliquant au cas général.Nous implémentons et validons cette méthode sur des données réelles fournies par Orange.Bilevel programming deals with nested optimization problems involving two players. A leader annouces a decision to a follower, who responds by selecting a solution of an optimization problem whose data depend on this decision (low level problem). The optimal decision of the leader is the solution of another optimization problem whose data depend on the follower's response (high level problem). When the follower's response is not unique, one distinguishes between optimistic and pessimistic bilevel problems, in which the leader takes into account the best or worst possible response of the follower.Bilevel problems are often used to model pricing problems.We are interested in applications in which the leader is a seller who announces a price, and the follower models the behavior of a large number of customers who determine their consumptions depending on this price.Hence, the dimension of the low-level is large. However, most bilevel problems are NP-hard, and in practice, there is no general method to solve efficiently large-scale bilevel problems.In this thesis, we introduce a new approach to tackle bilevel programming. We assume that the low level problem is a linear program, in continuous or discrete variables, whose cost function is determined by the leader. Then, the follower responses correspond to the cells of a special polyhedral complex, associated to a tropical hypersurface. This is motivated by recent applications of tropical geometry to model the behavior of economic agents.We use the duality between this polyhedral complex and a regular subdivision of an associated Newton polytope to introduce a decomposition method, in which one solves a series of subproblems associated to the different cells of the complex. Using results about the combinatorics of subdivisions, we show thatthis leads to an algorithm to solve a wide class of bilevel problemsin a time that is polynomial in the dimension of the low-level problem when the dimension of the high-level problem is fixed.Then, we identify special structures of bilevel problems forwhich this complexity bound can be improved.This is the case when the leader's cost function depends only on the follower's response. Then, we showthe optimistic bilevel problem can be solved in polynomial time.This applies in particular to high dimensional instances in which the datasatisfy certain discrete convexity properties. We also show that the solutions of such bilevel problems are limits of competitive equilibria.In the second part of this thesis, we apply this approach to a price incentive problem in mobile telecommunication networks.The aim for Internet service providers is to use pricing schemes to encourage the different users to shift their data consumption in time(and so, also in space owing to their mobility),in order to reduce the congestion peaks.This can be modeled by a large-scale bilevel problem.We show that a simplified case can be solved in polynomial time by applying the previous decomposition approach together with graph theory and discrete convexity results. We use these ideas to develop an heuristic method which applies to the general case. We implemented and validated this method on real data provided by Orange