Une formalisation des courbes elliptiques pour la cryptographie

Le sujet de ma thèse s’inscrit dans le domaine des preuves formelleset de la vérification des algorithmescryptographiques. L’implémentation des algorithmes cryptographiquesest souvent une tâche assez compliquée, parce qu’ils sont optimiséspour être efficaces et sûrs en même temps. Par conséquent, il n’estpas toujours évident qu’un programme cryptographique en tant quefonction, corresponde exactement à l’algorithme mathématique,c’est-à-dire que le programme soit correct. Les erreurs dans lesprogrammes cryptographiques peuvent mettre en danger la sécurité desystèmes cryptographiques entiers et donc, des preuves de correctionsont souvent nécessaires. Les systèmes formels et les assistants depreuves comme Coq et Isabelle-HOL sont utilisés pour développer despreuves de correction des programmes. Les courbes elliptiques sontlargement utilisées en cryptographie surtout en tant que groupecryptographique très efficace. Pour le développement des preuvesformelles des algorithmes utilisant les courbes elliptiques, unethéorie formelle de celles-ci est nécessaire. Dans ce contexte, nousavons développé une théorie formelle des courbes elliptiques enutilisant l’assistant de preuves Coq. Cette théorie est par la suiteutilisée pour prouver la correction des algorithmes de multiplicationscalaire sur le groupe des points d’une courbe elliptique.Plus précisément, mes travaux de thèse peuvent être divisées en deuxparties principales. La première concerne le développement de lathéorie des courbes elliptiques en utilisant l'assistant des preuvesCoq. Notre développement de plus de 15000 lignes de code Coqcomprend la formalisation des courbes elliptiques données par uneéquation de Weierstrass, la théorie des corps des fonctionsrationnelles sur une courbe, la théorie des groupes libres et desdiviseurs des fonctions rationnelles sur une courbe. Notre résultatprincipal est la formalisation du théorème de Picard; une conséquencedirecte de ce théorème est l’associativité de l’opération du groupedes points d’une courbe elliptique qui est un résultat non trivial àprouver. La seconde partie de ma thèse concerne la vérification del'algorithme GLV pour effectuer la multiplication scalaire sur descourbes elliptiques. Pour ce développement, nous avons vérifier troisalgorithmes indépendants: la multiexponentiation dans un groupe, ladécomposition du scalaire et le calcul des endomorphismes sur unecourbe elliptique. Nous avons également développé une formalisationdu plan projectif et des courbes en coordonnées projectives et nousavons prouvé que les deux représentations (affine et projective) sontisomorphes.Notre travail est à la fois une première approche à la formalisationde la géométrie algébrique élémentaire qui est intégré dans lesbibliothèques de Ssreflect mais qui sert aussi à la certification devéritables programmes cryptographiques.This thesis is in the domain of formalization of mathematics and ofverification of cryptographic algorithms. The implementation ofcryptographic algorithms is often a complicated task becausecryptographic programs are optimized in order to satisfy bothefficiency and security criteria. As a result it is not alwaysobvious that a cryptographique program actually corresponds to themathematical algorithm, i.e. that the program is correct. Errors incryprtographic programs may be disastrous for the security of anentire cryptosystem, hence certification of their correctness isrequired. Formal systems and proof assistants such as Coq andIsabelle-HOL are often used to provide guarantees and proofs thatcryptographic programs are correct. Elliptic curves are widely usedin cryptography, mainly as efficient groups for asymmetriccryptography. To develop formal proofs of correctness forelliptic-curve schemes, formal theory of elliptic curves is needed.Our motivation in this thesis is to formalize elliptic curve theoryusing the Coq proof assistant, which enables formal analysis ofelliptic-curve schemes and algorithms. For this purpose, we used theSsreflect extension and the mathematical libraries developed by theMathematical Components team during the formalization of the FourColor Theorem. Our central result is a formal proof of Picard’stheorem for elliptic curves: there exists an isomorphism between thePicard group of divisor classes and the group of points of an ellipticcurve. An important immediate consequence of this proposition is theassociativity of the elliptic curve group operation. Furthermore, wepresent a formal proof of correctness for the GLV algorithm for scalarmultiplication on elliptic curve groups. The GLV algorithm exploitsproperties of the elliptic curve group in order to acceleratecomputation. It is composed of three independent algorithms:multiexponentiation on a generic group, decomposition of the scalarand computing endomorphisms on algebraic curves. This developmentincludes theory about endomorphisms on elliptic curves and is morethan 5000 lines of code. An application of our formalization is alsopresented