Eigenvalue bounds and extremal metrics

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de l'opérateur de Laplace et de l'opérateur de Steklov sur des variétés riemanniennes. On cherche à donner des bornes optimales parmi l'ensemble des métriques, dans une classe conforme donnée ou non, et à caractériser, si elles existent, les métriques qui atteignent ces bornes. Ces métriques extrémales ont des propriétés qui s'inscrivent dans la théorie des surfaces minimales. On s'intéresse d'abord à la borne supérieure des valeurs propres de Laplace parmi des métriques conformes entre elles, appelées valeurs propres conformes. Dans le chapitre 1, on estime la deuxième valeur propre conforme de la sphère standard. Dans les chapitres 2 et 3, on montre que la première valeur propre conforme d'une variété riemannienne est plus grande que celle de la sphère standard de même dimension avec égalité seulement pour la sphère standard. Ensuite, on cherche à démontrer l'existence et la régularité de métriques qui maximisent les valeurs propres sur des surfaces, dans une classe conforme donnée ou non. Dans les chapitres 3 et 4, on démontre un résultat d'existence pour les valeurs propres de Laplace. Dans le chapitre 6, le travail est fait pour les valeurs propres de Steklov. Enfin, dans le chapitre 5, fruit d'un travail réalisé en collaboration avec Paul Laurain, on démontre un résultat de régularité et de quantification des applications harmoniques à bord libre sur une surface Riemannienne. C'est un élément clé pour le chapitre 6This thesis is devoted to the study of the Laplace eigenvalues and the Steklov eigenvalues on Riemannian manifolds. We look for optimal bounds among the set of metrics, lying in a conformal class or not. We also characterize, if they exist the metrics which reach these bounds. These extremal metrics have properties from the theory of minimal surfaces. First, we are interested in the upper bound of Laplace eigenvalues in a class of conformal metrics, called the conformal eigenvalues. In Chapter 1, we estimate the second conformal eigenvalue of the standard sphere. In Chapters 2 and 3, we prove that the first conformal eigenvalue of a Riemannian manifold is greater than the one of the standard sphere of same dimension, with equality only for the standard sphere. Then, we look for existence and regularity results for metrics which maximize eigenvalues on surfaces, in a given conformal class or not. In Chapters 3 and 4, we prove an existence result for Laplace eigenvalues. In Chapter 6, the work is done for Steklov eigenvalues. Finally, in Chapter 5, obtained in collaboration with Paul Laurain, we prove a regularity and quantification result for harmonic maps with free boundary on a Riemannian surface. It is a key component for Chapter