Stochastic dynamics of discrete interface and dimer models

Nous avons étudié la dynamique de Glauber sur les pavages de domaines finies du plan par des losanges ou par des dominos de taille 2 × 1. Ces pavages sont naturellement associés à des surfaces de R^3, qui peuvent être vues comme des interfaces dans des modèles de physique statistique. En particulier les pavages par des losanges correspondent au modèle d'Ising tridimensionnel à température nulle. Plus précisément les pavages d'un domaine sont en bijection avec les configurations d'Ising vérifiant certaines conditions au bord (dépendant du domaine pavé). Ces conditions forcent la coexistence des phases + et - ainsi que la position du bord de l'interface. Dans la limite thermodynamique où L, la longueur caractéristique du système, tend vers l'infini, ces interfaces obéissent à une loi des grand nombre et convergent vers une forme limite déterministe ne dépendant que des conditions aux bord. Dans le cas où la forme limite est planaire et pour les losanges, Caputo, Martinelli et Toninelli [CMT12] ont montré que le temps de mélange Tmix de la dynamique est d'ordre O(L^{2+o(1)}) (scaling diffusif). Nous avons généralisé ce résultat aux pavages par des dominos, toujours dans le cas d'une forme limite planaire. Nous avons aussi prouvé une borne inférieure Tmix ≥ cL^2 qui améliore d'un facteur log le résultat de [CMT12]. Dans le cas où la forme limite n'est pas planaire, elle peut être analytique ou bien contenir des parties “gelées” où elle est en un sens dégénérée. Dans le cas où elle n'a pas de telle partie gelée, et pour les pavages par des losanges, nous avons montré que la dynamique de Glauber devient “macroscopiquement proche” de l'équilibre en un temps L^{2+o(1)}We studied the Glauber dynamics on tilings of finite regions of the plane by lozenges or 2 × 1 dominoes. These tilings are naturally associated with surfaces of R^3, which can be seen as interfaces in statistical physics models. In particular, lozenge tilings correspond to three dimensional Ising model at zero temperature. More precisely, tilings of a finite regions are in bijection with Ising configurations with some boundary conditions (depending on the tiled domain). These boundary conditions impose the coexistence of the + and - phases, together with the position of the boundary of the interface. In the thermodynamic limit where L, the characteristic length of the system, tends toward infinity, these interface follow a law of large number and converge to a deterministic limit shape depending only on the boundary condition. When the limit shape is planar and for lozenge tilings, Caputo, Martinelli and Toninelli [CMT12] showed that the mixing time of the dynamics is of order (L^{2+o(1)}) (diffusive scaling). We generalized this result to domino tilings, always in the case of a planar limit shape. We also proved a lower bound Tmix ≥ cL^2 which improve on the result of [CMT12] by a log factor. When the limit shape is not planar, it can either be analytic or have some “frozen” domains where it is degenerated in a sense. When it does not have such frozen region, and for lozenge tilings, we showed that the Glauber dynamics becomes “macroscopically close” to equilibrium in a time L^{2+o(1)