K-theory of hyperbolic Tilings associated C*-algebras

Etant donnée une substitution de dimension 1, notée σ, nous pouvons définir l'enveloppe Ωσ formant un système dynamique (Ωσ, R) où l'action de R sur les pavages est donnée par les translations. Si la substitution est primitive alors nous pouvons construire un pavage P du demi-plan de PoincaréH2 muni de sa métrique \frac{\mathrm d x + \mathrm d y}{y^2}. De manière analogue nous pouvons construire des enveloppes pour les actions de N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\} et G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\} que l'on notera respectivement X_P ^N et X_{P(c)}^G (où P(c) est le pavage colorié ligne à ligne pour rendre l'action de G libre). En utilisant la notion de C^* -algèbre de groupoïde ainsi que les résultats obtenus dans l'article de Ian Putnam et Jared Anderson et via l'isomorphisme issu de l'équivalence Morita entre C((\Xi \times \R)/\As) et C(\Xi) \rtimes \Z, nous pouvons donner la description de la C^*-algèbre de l'enveloppe du pavage hyperbolique en termes de générateurs et relations. Nous terminons par la description des générateurs de la K-théorie de C(X_{P(c)}^G) \rtimes G. pour les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et TribonacciGiven a one dimensional substitution σ, one can define the continuous hull Ωσ for the R-action given by translations and so we obtain a dynamical system Ωσ,σ. If the substitution we choose is primitive, then we can construct an hyperbolic tiling on Poincaré's half-plane equiped with its standard metric \frac{\mathrm d x +\mathrm d y}{y^2}. By analogy of the standard case, we can define two continuous hulls, denoted X_P ^ N and X_{P(c)}^G, where P(c) is a colored tiling (in such fashion that the action of G is free), and the groups are denoted respectively N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\} and G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}.\par Using Jean Renault's construction of the reduced C^*-algebra of a groupoid , the results of Ian Putnam and Jared Anderson and the Morita equivalence between C((\Xi\times \R)/\As) and C(\Xi) \rtimes \Z, we describe the C^*-algebra of the hyperbolic tiling using generators and relations. Finally we obtain for the Fibonacci, Thue-Morse and Tribonacci substitutions the full description of the generators of K_* (C(X_{P(c)}^G ) \rtimes G