Torsion points for abelian varieties of type III

Le théorème de Mordell-Weil affirme que, pour toute variété abélienne définie sur un corps de nombres, le groupe des points K-rationnels est de type fini. Plus exactement, ce groupe peut être vu comme le produit d’un groupe libre et d’un sous-groupe fini de points de torsion définis sur K. Il est naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne uniforme pour le cardinal du sous-groupe fini des points de torsion définis sur une extension finie de K, dépendant uniquement du degré de cette extension, lorsque la variété abélienne varie. Pour ce qui est des courbes elliptiques définies sur un corps de nombres, Merel a prouvé en 1994 que l’on peut obtenir une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur, Kenku-Momose et Kamienny. Cependant, il est aussi naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne de ce cardinal, qui dépend uniquement du degré de cette extension,lorsque l’extension varie et la variété abélienne est fixée. Concernant cette dernière question Hindry et Ratazzi ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes. L’objectif de cette thèse, sera de présenter des nouveaux résultats dans cette direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz, c’est-à-dire, telles que leur groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commutent avec les endomorphismes et telles qu’elles vérifient la conjecture de Mumford-Tate. On démontre des nouveaux résultats concernant la conjecture de Mumford-Tate. En particulier, on fournit une liste de variétés abéliennes dont on sait prouver qu’elles sont pleinement de type Lefschetz.Mordell-Weil’s theorem states that, for an abelian variety defined over a number field K the group of K-rational points is finitely generated. More precisely, it can be seen as a product of a free group by a finite subgroup of torsion points over K. One can wonder if we can get an uniform bound for the order of the subgroup of torsion points over a finite extension L over K, depending on the degree of this extension and the dimension of the abelian variety, when the abelian variety varies in a certain class. For elliptic curves defined over a number field K, Merel proved in 1994 that we can get a uniform bound using methods developed by Mazur, Kenku-Momose and Kamienny. A complementary question would be to ask if we can get a bound for the order of the subgroup of torsion points over a finite extension L over K, depending on the degree of this extension and the dimension of the abelian variety, when L varies over all the finite extensions of K and the abelian variety is fixed. This question had been already answered by Hindry and Ratazzi for certain classes of abelian variety.This thesis will focus on this last question and will extend the previous results. We are going to present some new results concerning the class of abelian variety of type III in Albert’s classification and “fully of Lefschetz type” (i.e. whose Mumford-Tate group is the group of symplectic or orthogonal similitudes commuting with endomorphisms and which satisfy the Mumford-Tate conjecture). We also show some new results in the direction of the Mumford-Tate conjecture. Moreover, we present a list of abelian varieties which, we know, are fully of Lefschetz type