Function spaces on quantum tori and their applications to pseudo-differential operators.

Le but de cette thèse est d’étudier l’analyse sur les espaces hpc(Rd,M), la version locale des espaces de Hardy à valeurs opératorielles construits par Tao Mei. Les espaces de Hardy locaux à valeurs opératorielles sont définis par les g-fonctions de Littlewood-Paley tronquées et les fonctions intégrables de Lusin tronquées associées au noyau de Poisson. Nous développons la théorie de Calderón-Zygmund sur hpc(Rd,M); nous étudions la dualité hpcbmocq et l’interpolation. D’après ces résultats, nous obtenons la caractérisation générale de hpc(Rd,M) en remplaçant le noyau de Poisson par des fonctions tests raisonnables. Ceci joue un rôle important dans la décomposition atomique lisse de h1c(Rd,M). En même temps, nous étudions aussi les espaces de Triebel-Lizorkin inhomogènes à valeurs opératorielles Fpα,c(Rd,M). Comme dans le cas classique, ces espaces sont connectés avec des espaces de Hardy locaux à valeurs opératorielles par les potentiels de Bessel. Grâce à l’aide de la théorie de Calderón-Zygmund, nous obtenons les caractérisations de type LittlewoodPaley et de type Lusin par des noyaux plus généraux. Ces caractérisations nous permettent d’étudier différentes propriétés de Fpα,c(Rd,M), en particulier, la décomposition atomique lisse. Ceci est une extension et une amélioration de la décomposition atomique précédente de h1c(Rd,M). Comme une application importante de cette décomposition atomique lisse, nous montrons la bornitude d’opérateurs pseudo-différentiels avec les symboles réguliers à valeurs opératorielles sur des espaces de Triebel-Lizorkin Fpα,c(Rd,M), pour α ∈ R et 1 ≤ p ≤ ∞. Finalement, grâce à la transférence, nous obtenons aussi la Fpα,c-bornitude d’opérateurs pseudo-différentiels sur les tores quantiquesThis thesis is devoted to the study of the analysis on the spaces hpc(Rd,M), the local version of operator-valued Hardy spaces studied by Tao Mei. The operator-valued local Hardy spaces are defined by the truncated Littlewood-Paley g-functions and the truncated Lusin square functions associated to the Poisson kernel. We develop the Calderón-Zygmund theory on hpc(Rd,M), and study the hpc-bmocq duality and the interpolation. Based on these results, we obtain general characterization of hpc(Rd,M) which states that the Poisson kernel can be replaced by any reasonable test function. This characterization plays an important role in the smooth atomic decomposition of h1c(Rd,M). We also investigate the operator-valued inhomogeneous Triebel-Lizorkin spaces Fpα,c(Rd,M). Like in the classical case, these spaces are connected with the operator-valued local Hardy spaces via Bessel potentials. Then by the aid of the Calderón-Zygmund theory, we obtain the Littlewood-Paley type and the Lusin type characterizations of Fpα,c(Rd,M) by more general kernels. These characterizations allow us to study various properties of Fpα,c(Rd,M), in particular, the smooth atomic decomposition. This is an extension and an improvement of the previous atomic decomposition of h1c(Rd,M). As an important application of this smooth atomic decomposition, we show the boundedness of pseudo-differential operators with regular operator-valued symbols on Triebel-Lizorkin spaces Fpα,c(Rd,M), for α ∈ R and 1 ≤ p ≤ ∞. Finally, by virtue of transference, we obtain the Fpα,c-boundedness of pseudo-differential operators on quantum tor