Design and analysis of non-linear schemes for solving parabolic problems : application to flows in porous media

L'objectif de cette thèse est de concevoir et d'analyser des schémas numériques performants pour la simulation d'écoulements complexes en milieux poreux. Dans un premier temps nous proposons un schéma CVFE (Control Volume Finite Element) non-linéaire pour approcher la solution de l'équation de Richards anisotrope. La mobilité d'arête est gérée à l'aide d'une procédure de décentrement. On montre d'abord que ce schéma est non-linéairement stable, qu'il admet (au moins) une solution discrète et que la saturation est bornée entre 0 et 1. Ce schéma converge sans restriction sur le maillage. Enfin, en vue de mettre en évidence l'efficacité, la stabilité et la robustesse de la méthode, nous réalisons des tests numériques dans des cas isotropes et anisotropes. Dans un second temps on étudie un schéma Volumes finis (avec décentrement des mobilités) pour un modèle d'intrusion saline. Il préserve au niveau discret les principales propriétés du problème continu: l'existence de solutions discrètes positives, la décroissance de l'énergie et le contrôle de l'entropie et sa dissipation. Nous montrons que ce schéma converge. De plus, nous illustrons numériquement le comportement du modèle. Enfin nous étudions le comportement en temps long d'un modèle d'intrusion saline. Il s'agit d'identifier les états stationnaires qui sont les minimiseurs d'une énergie convexe. On montre pour le problème continu l'existence et l'unicité des minimiseurs de l'énergie, que les minimiseurs sont des états stationnaires et que ces états stationnaires sont radiaux et uniques. Nous donnons une illustration numérique des états stationnaires et nous exhibons le taux de convergence.This thesis is focused on the design and the analysis of efficient numerical schemes for the simulation of complex flows in porous media. First, we propose a nonlinear Control Volume Finite Element scheme (CVFE) in order to approximate the solution of Richards equation with anisotropy. This scheme is based on a suitable upwinding of the mobility which allows the negative transmissibility coefficients. We prove the nonlinear stability of the scheme, that there exists (at least) one discrete solution and that the saturation belongs to the interval [0,1]. Moreover, the convergence of the method is proved as the discretization steps tend to 0. We give some numerical experiments on isotropic and anisotropic cases illustrate the efficiency of the method. Second, we propose and analyze a finite volume scheme based on two-point flux approximation with upwind mobilities for a seawater intrusion model. The scheme preserves at the discrete level the main features of the continuous problem, namely the nonnegativity of the solutions, the decay of the energy and the control of the entropy and its dissipation. We show the convergence of this scheme. Numerical results are provided to illustrate the behavior of the model. Finally, the large time behaviour of the seawater intrusion model is studied. The goal is to identify the steady states which are the minimizers of a convex energy. We prove for the continuous problem the existence and uniqueness of the minimizers of the energy, that the minimizers are stationary states and that these stationary states are radial and unique. We give numerical illustrations of the stationary states and we exhibit the convergence rate