Around vacuum Einstein equations with a translation space-like Killing vector field

Dans cette thèse, nous étudions les équations d’Einstein dans le vide avec un champ de Killing de translation. En présence de cette symétrie, les équations d’Einstein dans le vide en dimension 3+1 peuvent s’écrire, dans le cas polarisé, comme un système d’équations d’Einstein couplées à un champ scalaire en dimension 2+1. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions les équations de contraintes dans le cas asymptotiquement plat. Les équations de contraintes sont des équations de compatibilité qui doivent être satisfaites par les données initiales. Nous montrons l’existence de solutions pour des données assez petites, et introduisons un développement asymptotique faisant intervenir des quantités correspondant aux charges globales. Dans une deuxième partie nous montrons la stabilité de l’espace-temps de Minkowski avec un champ de Killing de translation, en temps exponentiellement grand par rapport à la petitesse de la donnée initiale. Nous travaillons dans les coordonnées d’onde généralisées. Nous introduisons une famille de métriques Ricci plates, et imposons le comportement asymptotique de nos solutions à l’extérieur du cône de lumière en choisissant un élément de cette famille de manière adéquate. Ce choix permet la convergence de nos solutions à l’intérieur du cône de lumière vers la solution de Minkowski. Dans la dernière partie de cette thèse nous étudions les équations de contraintes dans le cas compact hyperbolique. Nous montrons l’existence d’une équation limite associée aux équations de contraintes.This thesis aim sat studying vacuum Einstein equations with a space-like Killing vector field. With this symmetry, 3+1 vacuum Einstein equations reduce, in the polarized case, to Einstein equations coupled to a scalar field in 2+ 1 dimensions. In the first part of this thesis, we study the constraint equations in the asymptotically flat case. The constraint equations correspond to computability conditions that the initial data must satisfy. We show the existence of solutions for small data, and we introduce an asymptotic expansion involving quantities which are the 2 dimensional equivalents for the global charges. In the second part, we show the stability of Minkowski space-time with a translation space-like Killing vector field in exponential time with respect to the smallness of initial data. We introduce a family of Ricci flat metrics, and we impose the asymptotic behaviour of our solutions in the exterior of the light cone by picking the right element in the family. This choice allows for the convergence to Minkowski solution in the interior of the light cone. In the last part of this thesis, we study the constraint equations in the compact hyperbolic case. We show the existence of a limit equation associated to the constraint equations