Universal inequalities for eigenvalues of natural operators

Dans cette thèse, nous généralisons les inégalités universelles de Yang etde Levitin et Parnovski, concernant les valeurs propres du laplacien de Dirichlet sur undomaine euclidien borné, au cas du laplacien de Hodge-de Rham sur une sous-variétéeuclidienne fermée. Cela permet une extension de l’inégalité de Reilly et de l’inégalitéd’Asada, concernant respectivement la première valeur propre du laplacien et celle dulaplacien de Hodge-de Rham, à toutes les valeurs propres de ces deux opérateurs. Ensuite,nous obtenons une nouvelle inégalité algébrique qui relie les valeurs propres d’un opérateurauto-adjoint sur un espace d’Hilbert à deux familles d’opérateurs symétriques et antisymétriqueset à leurs commutateurs. Cette inégalité permet d’unifier et d’améliorer denombreux résultats connus concernant le laplacien, le laplacien de Hodge-de Rham, lecarré de l’opérateur de Dirac et plus généralement le laplacien agissant sur les sections d’unfibré vectoriel riemannien au-dessus d’une sous-variété euclidienne, le laplacien de Kohn,les puissances du laplacien... Dans une dernière partie, nous montrons une majoration dela première valeur propre du problème de Steklov sur un domaine Ω d’une sous-variétéeuclidienne ou sphérique, en fonction des r-courbures moyennes de son bord ∂Ω.In this thesis, we generalize the Yang and the Levitin and Parnovski universalinequalities, concerning the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian on a Euclideanbounded domain, to the case of the Hodge-de Rham Laplacian on a Euclidean closed submanifold.This gives an extension of Reilly’s inequality and Asada’s inequality, concerningthe first eigenvalues of the Laplacian and the Hodge-de Rham Laplacian respectively, toall eigenvalues of these operators. We also obtain a new abstract inequality relating theeigenvalues of a self-adjoint operator on a Hilbert space to two families of symmetric andskew-symmetric operators and their commutators. This inequality is proved useful both forunifying and for improving numerous known results concerning the Laplacian, the Hodgede Rham Laplacian, the square of the Dirac operator and more generally the Laplacianacting on sections of a Riemannian vector bundle on a Euclidean submanifold, the KohnLaplacian, a power of the Laplacian...In the last part, we obtain an upper bound for thefirst eigenvalue of Steklov problem on a domain Ω of a Euclidean or a spherical submanifoldin terms of the r-th mean curvatures of ∂