Spectrum of sublaplacians on strictly pseudoconvex CR manifolds

Le but de cette thèse est d’étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexe. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien ∆_b est discret sur un domaine borné Ω⊂M d’une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l’inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien ∆_b sur une variété C] strictement pseudoconvexe compacte M, en tait que fonctionnelle sur l’espace P_+ de formes de contact positivement orientées sur M en dotant P_+ d’une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de ∆_b sur des variétés CR strictement pseudoconvexes (éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats d, tenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh) pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l’esprit des inégalités de Payne-PV(o)lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle λ1_(θ) du sous-laplacien ∆_b sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte M munie d’une forme de contact θ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.The purpose of this thesis is to study the spectrum of sublaplacians on compact strictly pseudoconvex CR manifolds. We prove the discreteness of the Dirichiet spectrum of the sublaplacian ∆_b on a smoothly bounded domain Ω⊂M in a strictly pseudoconvex CR manifold M satisfying Poincaré inequality. We study the behavior of the eigenvalues of a sublaplacian ∆_b on a compact strictly pseudoconvex CR manifol as functions on the set P_+ of positively oriented contact forms on M by endowing P_+ with a natural metric topology. We establish inequalities for the eigenvalues of ∆_b on compact strictly pseudoconvex CR manifolds (possibly with nonempty boundary) %C^2 semi-isometric maps into a Euclidean space or a Heisenberg group. Our estimates extend those obtained by P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} for the Dirichlet eigenvalues 0f the sublaplacian on a bounded domain in the Heisenberg group, in the spirit of Payne-P\’{o)lya -Weinberger and Yang inequalities. We establish a new lower bound on the first nonzero eigen value λ1_(θ) of the sublaplacian ∆_b on a compact strictly pseudoconvex CR manifold dollarMdollar carrying a contact form θ whose Tanaka-Webster connection has Ricci curvature bounded from below