Functionals of Lévy processes and diffusions in random media

Pour V un processus aléatoire càd-làg, on appelle diffusion dans le milieu aléatoire V la solution formelle de l’équation différentielle stochastique dX_t = -1/2 V'(X_t)dt + dB_t, où B est un mouvement brownien indépendant de V . Le temps local au temps t et à la position x dela diffusion, noté L_{X}(t,x), donne une mesure de la quantité de temps passé par la diffusion au point x, avant l’instant t. Dans cette thèse nous considérons le cas où le milieu V est un processus de Lévyspectralement négatif convergeant presque sûrement vers −∞, et nous nous intéressons au comportementasymptotique lorsque t tend vers l’infini de L*_{X}(t) := sup_{ℝ}L_{X}(t,.), le supremum du temps local de ladiffusion, ainsi qu’à la localisation du point le plus visité par la diffusion. Nous déterminons notammentla convergence en loi et le comportement presque sûr du supremum du temps local. Cette étude révèleque le comportement asymptotique du supremum du temps local est fortement lié aux propriétés desfonctionnelles exponentielles des processus de Lévy conditionnés à rester positifs et cela nous amène àétudier ces dernières. Si V est un processus de Lévy, V↑ désigne le processus V conditionné à rester positif. La fonctionnelle exponentielle de V↑ est la variable aléatoire ∫_0^{+∞} e^{-V↑(t)}dt. Nous étudions en particulier sa finitude, son auto-décomposabilité, l’existence de moments exponentiels, sa queue en 0, l’existence et larégularité de sa densité.For V a random càd-làg process, we call diffusion in the random medium V the formal solution of thestochastic differential equation dX_t = -1/2 V'(X_t)dt + dB_t where B is a brownian motion independent of V . The local time at time t and at the position x of thediffusion, denoted by L_{X}(t,x), gives a measure of the amount of time spent by the diffusion at point x, before instant t. In this thesis we consider the case where the medium V is a spectrally negative Lévyprocess converging almost surely toward −∞, and we are interested in the asymptotic behavior, whent goes to infinity, of L*_{X}(t) := sup_{ℝ}L_{X}(t,.), the supremum of the local time of the diffusion. We arealso interested in the localization of the point most visited by the diffusion. We notably establish theconvergence in distribution and the almost sure behavior of the supremum of the local time. This studyreveals that the asymptotic behavior of the supremum of the local time is deeply linked to the propertiesof the exponential functionals of Lévy processes conditioned to stay positive and this brings us to studythem. If V is a Lévy process, V↑ denotes the process V conditioned to stay positive. The exponentialfunctional of V↑ is the random variable ∫_0^{+∞} e^{-V↑(t)}dt. For this object, we study in particular finiteness