Convergence results for variational inequalities and applications in contact mechanics

Le sujet de cette thèse porte sur quelques résultats de convergence pour les inéquations variationnelles avec applications dans l'étude des problèmes aux limites décrivant le contact entre un corps déformable et une fondation. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l'analyse des inéquations quasivariationnelles, avec ou sans opérateurs de mémoire, dans un espace de Hilbert. Nous prouvons plusieurs résultats de convergence liés à la perturbation de l'ensemble des contraintes ainsi qu'à une méthode de pénalisation. Aussi, pour une classe d'inéquations quasivariationnelles avec opérateurs de mémoire nous étudions une formulation duale pour laquelle nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'équivalence. La deuxième partie est consacrée à l'application de ces résultats abstraits dans l'étude de six problèmes de contact pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques, dans le cas statique ou quasistatique. Les lois de contact considérées sont la loi de Signorini, la loi de contact avec compliance normale et contrainte unilatérale et la loi de contact avec contrainte unilatérale et seuil critique. Enfin, nous étudions un nombre de problèmes de contrôle optimal associés aux certains modèles de contact. Pour ces problèmes nous obtenons des résultats d'existence et de convergence.The topic of this thesis concerns some convergence results for variational inequalities with applications in the study of boundary value problems which describe the contact between a deformable body and a foundation. The thesis is divided into two parts. In the first part, we are interested in the analysis of quasivariational inequalities, with or without history-dependent operators, in Hilbert spaces. We prove some convergence results related to a perturbation of the set of constraints and a penalty method, as well. Moreover, for a class of history-dependent quasivariational inequalities we study a dual formulation for which we present existence, uniqueness and equivalence results. The second part is devoted to applications of these abstract results in the study of six contact problems with elastic, viscoelastic and viscoplastic materials, both in the static or quasistatic case. The contact conditions we consider are the Signorini condition, the normal compliance condition with unilateral constraint, the unilateral constraint condition with yield limit. Finally, we study a number of optimal control problems associated to some contact models. For these problems we provide existence and convergence results