Jeux champs moyen avec contraintes sur l’état

L’objet de cette thèse est l’étude des jeux champs moyen déterministes avec contrainte sur l’état. La théorie des jeux à champ moyen (mean field games (MFG)), initiée par Lasry et Lions en 2006, étudie des problèmes d’optimisation pour grandes populations d'agents dans un milieu dynamique. L'analyse mathématique de tels problèmes s'est jusqu'à présent concentrée sur des situations dans lequel les agents évoluent dans tout l’espace. En pratique, cependant, les agents ont des contraintes sur l'état. Le but de la thèse est celle d'étudier l'impact de ces contraintes sur l'analyse des systèmes de jeux à champ moyen. Nous montrons que les équilibres de Nash peuvent être décrits en termes de point fixe sur un espace de mesure sur des courbes contraintes (notion d’équilibre généralisé). Afin d’obtenir des résultats plus fins sur de tels équilibres, nous montrons un principe d’optimalité lisse pour les courbes optimales avec contraintes sur l’état. Nous en déduisons que les équilibres généralisés satisfont un système MFG, où les équations de Hamiton-Jacobi et les équations de transport doivent être entendues dans un sens spécifique.The aim of this Thesis is to study deterministic mean field games with state constraints. Mean field games (MFG) is a recent theory invented by Lasry and Lions which studies optimization problems with large populations of agents in a dynamical framework. The mathematical analysis of such problems has so far focused on situations where the agents can evolve in the whole space. In practice, however, the agents often have constraints on their state. The aim of this Thesis is to understand the consequence of such constraints on the analysis of mean field games. We first show that the Nash MFG equilibria can be described as fixed points on the space of measures on constrained trajectories (generalized MFG equilibria). In order to obtain more precise results on these equilibria, we show a smooth optimality principle for the optimal trajectories of control problem with state constraints. We derive from this that the generalized equilibria satisfy a MFG system in which the Hamilton-Jacobi equation and the continuity equation have to be understand in a specific sense