Spatial aspect in the epidemiological modeling

Dans cette thèse on s'intéresse a l'aspect spatial dans la modélisation en épidémiologie, ainsi que des conditions menant a la stabilité des systèmes que nous présentons, en épidémiologie, a partir des modèles classiques de Ross et Mckendrick. Dans un premier temps, nous examinons les effets de l'indice de la différence normalisée de végétation (NDVI) dans un modèle de contamination du paludisme a Bankoumana, une région du Mali. A partir du système obtenu, nous trouvons le taux de reproduction de base. Deux points d'équilibre sont déduits dont, un point d'équilibre sans maladie et un point d'équilibre endémique. Ce dernier point d'équilibre ainsi que le taux de reproduction de base sont fonction de l'indice de végétation normalisée. Par la suite, nous construisons un modèle ayant des équations a retard, dans lequel est également incorporée le NDVI. Le taux de reproduction de base ainsi que les deux points d'équilibre qui découlent de notre système sont fonction des retards introduits. Nous montrons que la stabilité de nos points d'équilibre est, non seulement fonction du taux de reproduction de base, mais elle est aussi étroitement liée aux retards introduits. Dans une autre optique, nous fractionnons la région d'étude en zones dans lesquelles nous émettons l'hypothèse que le taux de contagion induite par les individus d'une zone sur les individus de la même zone, ainsi que celui des individus d'une zone sur ceux d'une autre zone, peut être différents. Nous obtenons un système qui nous permet de déterminer les points d'équilibre ainsi que les conditions qui nous permettent d'obtenir la stabilité au sens de Lyapunov. Puis, nous perturbons le système précédent au niveau de son unique point d'équilibre endémique, en introduisant un bruit additif. Par suite, les conditions permettant la stabilité au sens de Lyapunov, sur le nouveau système obtenu, sont également déduites . Dans un cadre similaire, nous élaborons un modèle multi-groupes, dans lequel nous introduisons des coordonnées spatiales. Les groupes sont formés selon une proximité dépendant du rayon d'un cercle, de manière aléatoire. Ici, le taux de contagion est supposé uniforme dans les groupes. Après avoir déterminé les points d'équilibre ainsi que le taux de reproduction de base,nous trouvons les conditions qui favorisent la stabilité au sens de Lyapunov dans le cadre général. A l'ordre 1, c'est-a-dire, lorsqu'on suppose que nous n'avons qu'un groupe, les conditions de stabilité sont obtenus par le critère de Routh-Hurwitz.In this thesis, our interest is on the aspect in space of the establishment of a spatial model in epidemiology and the conditions leading to the stability of the systems that we present, in epidemiology, from the classical models by Ross and Mckendrick. Firstly, we intend to examine the eects of the Normalized DiFerence Vegetation Index(NDVI) in a model of contamination of malaria in Bankoumana, a region in Mali. From the system obtained, we willnd the basic reproduction rate. Then we deduce two point of equilibrium, among which one point of equilibrium without the disease and another one with an endemic point. The latter with the basic reproduction rate vary according to the indices of normalized vegetation. Then, we will build a model having equations delay, containing the NDVI. The rate of basic reproduction and the two points of equilibrium that come from our system depend upon the delay introduced. We will show that the stability of our points of equilibrium is not only dependent upon the basic reproduction rate, but also closely related to the delays introduced. In another way, we will divide the region of study in areas where we will set hypotheses that the rate of contamination brought about by individuals in an area of study on the others, can be dierent. It will permit us to obtain a system in which we will determine the points of equilibrium and the conditions that will lead us to obtain the stability according to Lyapunov. Then, we will disturb the previous system at the level of its unique endemic point of equilibrium, with the introduction of an additional noise. The conditions leading to stability according to Lyapunov, on the new system obtained, are generally deduced here. In a similar framework, we will elaborate a multigroups model, in which we will introduce spatial coordinates. The groups are formed according to a closeness depending to a radius of a circle at random. Here, the rate of contamination is supposed to be uniform in the groups. After having determined the point of equilibrium and the rate of basic reproduction, we will nd the conditions facilitating stability in as by Lyapunov in a global framework. In the order1, it means that supposing that we have only one group, the conditions of stability are obtained according to the Routh-Hurvitz criteria