Probabilistic approach for the event-based control of stochastic switching systems

Les systèmes hybrides sont des systèmes dynamiques, caractérisés par un comportementdual, une interaction entre une partie discrète et une partie continue de fonctionnement.Dans le centre de notre travail se trouve une classe particulière de systèmeshybrides, plus spécifiquement les systèmes stochastiques à commutation que nous modélisonsà l’aide des Chaînes de Markov en temps continu et des équations différentielles.Le comportement aléatoire de ce type de système nécessite une commande spécialequi s’adapte aux événements arbitraires qui peuvent changer complètement l’évolutiondu système. Nous avons choisi une politique de contrôle basée sur les événements quiest déclenchée seulement quand il est nécessaire (sur un événement incontrôlable - parexemple un seuil qui est atteint), et jusqu’à ce que certaines conditions de fonctionnementsont remplies (le système revient dans l’état normal).Notre approche vise le développement d’un modèle probabiliste qui permet de calculerun critère de performance (en occurrence l’énergie du système) pour la politiquede contrôle choisie. Nous proposons d’abord une méthode de simulation à événementsdiscrets pour le système stochastique à commutation commandé, qui nous donne la possibilitéde réaliser une optimisation directe de la commande appliquée sur le système etaussi de valider les modèles analytiques que nous avons construit pour l’application ducontrôle.Un modèle analytique pour déterminer l’énergie consommée par le système a étéconçu en utilisant les probabilités de sortie de la région de contrôle, respectivement lestemps de séjour dans la chaîne de Markov avant et après avoir atteint les limites decontrôle. La dernière partie du travail présente la comparaison des résultats obtenusentre la méthode analytique et la simulation.Hybrid systems are dynamical systems, characterized by a dual behaviour, a continuousinteraction between a discrete and a continuous functioning part. The center ofour work is represented by a particular class of hybrid systems, more specific by thestochastic switching systems which we model using continuous time Markov chains anddifferential equations.The random behaviour of such systems requires a special command which adapts tothe arbitrary events that can completely change the evolution of the system. We chose anevent-based control policy which is triggered only when it’s necessary (on an unforeseenevent - for example when a threshold that is reached), and until certain functioningconditions are met (the system returns in the normal state).Our approach aims to develop a probabilistic model that calculates a performancecriterion (in this case the energy of the system) for the proposed control policy. We startby proposing a discrete event simulation for the controlled stochastic switching system,which gives us the opportunity of applying a direct optimisation of the control command.It also allows us to compare the results with the ones obtained by the analytical modelswe have built when the event-based control is applied.An analytical model for computing the energy consumed by the system to apply thecontrol is designed by using the exit probabilities of the control region, respectively, thesojourn times of the Markov chain before and after reaching the control limits. The lastpart of this work presents the results we have obtained when comparing the analyticaland the simulation method