Modeling and mathematical analysis of models in oceanography

Cette thèse est dédiée à la modélisation et à l'analyse mathématique de modèles asymptotiques utilisés en océanographie décrivant la propagation des ondes internes à l'interface entre deux couches de fluides de densités différentes, soumis à la seule force de gravité.L'objectif de cette thèse est de construire et justifier de nouveaux modèles asymptotiques prenant en compte la variation de la topographie. Pour ce faire, on pose plusieurs hypothèses de petitesse sur la profondeur de l'eau et sur les déformations à l'interface et au fond. On s'intéresse plus particulièrement à deux régimes de variations topographiques, celui de moyenne amplitude et celui de lentes variations de grande amplitude.La première partie de cette thèse consiste à justifier rigoureusement et étudier mathématiquement (existence, unicité, stabilité et convergence de la solution) deux classes de modèles asymptotiques. Une classe de modèles couplés et une classe de modèles scalaires. Cette dernière classe est caractérisée par la description de la propagation unidirectionnelle des ondes internes.Dans la deuxième partie on propose un schéma numérique pour résoudre le modèle asymptotique couplé dérivé dans la première partie dans le cadre d'un font plat. Ce modèle existant dans la littérature a été reformulé d'une façon plus appropriée pour la résolution numérique en gardant le même ordre de précision que l'original et en améliorant ses propriétés de dispersion. Enfin nous présentons plusieurs simulations numériques pour valider notre schéma.This thesis is dedicated to the modeling and the mathematical analysis of asymptotic models used in oceanography describing the propagation of internal waves at the interface between two layers of fluids of different densities, under the only influence of gravity.We aim here at constructing and justifying new asymptotic models taking into account variable topography. To this end, we assume several smallness assumptions on the depth of the water and on the deformations at the interface and at the bottom. We are interested in two topographic regimes, one for variations of medium amplitude and one for slow variations with large amplitude.In the first part of this thesis we rigorously justify and mathematically study (existence, uniqueness, stability and convergence of the solution) two classes of asymptotic models. A class of coupled models and a class of scalar models. The latter class is characterized by the description of the propagation of unidirectional internal waves. In the second part we propose a numerical resolution for the coupled asymptotic model derived in the first part restricted to the flat bottom case. This existing model in the literature has been rewritten under a new formulation more suitable for numericalresolution with the same order of precision as the standard one but with improved frequency dispersion. Finally, we present several numerical simulations to validate our scheme